Alan Hesaplama

Oturduğumuz evlerin, çalıştığımız iş merkezlerinin, sahip olduğumuz arsa ya da tarla gibi mülklerin büyüklüğünün ne kadar olduğunu bulmak için alan hesaplaması yapmamız gerekiyor. Bu mülklerin büyüklüğü satın almak istediğimizde ya da kiralama yoluna gittiğimizde bizim için büyük önem taşıyor. Bulunduğumuz her konum belli bir geometrik şekle sahiptir. Odalarımız, ofislerimiz gibi zamanımızın büyük kısmını geçirdiğimiz mekanların […] Daha Fazla Bilgi

Hesaplanacak Şekil :

Oturduğumuz evlerin, çalıştığımız iş merkezlerinin, sahip olduğumuz arsa ya da tarla gibi mülklerin büyüklüğünün ne kadar olduğunu bulmak için alan hesaplaması yapmamız gerekiyor. Bu mülklerin büyüklüğü satın almak istediğimizde ya da kiralama yoluna gittiğimizde bizim için büyük önem taşıyor. Bulunduğumuz her konum belli bir geometrik şekle sahiptir. Odalarımız, ofislerimiz gibi zamanımızın büyük kısmını geçirdiğimiz mekanların her biri genellikle kare, dikdörtgen bazen de yamuk gibi şekillere sahip oluyor. Farklı farklı şekillere sahip olan bu mekanların sahip olduğu alanları hesaplayarak ne kadar yer kapladığı hakkında bilgi sağlıyoruz.

Alan Nedir?

Alan, yüzölçümü olarak da ifade edilmektedir. Alan, eşyaların ya da mekanların sahip olduğu yüzeyin ne kadar yer kapladığını belirten matematiksel bir terimdir. Uluslararası ölçü biriminde (SI) alanın temel birimi m² (metrekare) ile gösterilmektedir. Metrekareye bağlı olarak başka alan ölçü birimleri ortaya çıkmıştır. Buna göre;

  • 100 m²’nin eşit olduğu alan ölçü birimi Ar,
  • 1.000 m²’nin eşit olduğu alan ölçü birimi Dekar,
  • 10.000 m²’nin eşit olduğu alan ölçü birimi Hektar,
  • 1.000.000 m²’nin eşit olduğu alan ölçü birimi ise Kilometrekare olarak ifade edilmektedir.

Yüzeylerin kapladığı alanların sahip olduğu geometrik şekillere (üçgen, kare, dikdörtgen, daire, yamuk) bağlı olan alan hesaplamalarının nasıl yapıldığına bakalım.

Üçgen Alan Hesaplama

Üçgen, üç noktanın birbirine üç doğru ile birleşiminden ortaya çıkan geometrik şekildir. Üçgen, geometriyi oluşturan ana şekillerin başında gelmektedir. Üçgeni oluşturan noktalar, üçgenin köşesini ve noktaları birleştiren doğrular ise üçgenin kenarlarını oluşturur. Üçgenin köşelerinin açıları yani iç açıları toplamda 180 dereceye, dış açıları ise toplamda 360 dereceye eşit olmaktadır. Bir ABC üçgeninin alanı A (ABC) ile gösterilmektedir.

Üçgenin alan hesaplaması, üçgenin farklı verileri yardımıyla farklı yöntemlerle hesaplanabilmektedir. Temelde üçgen alan hesaplaması üç yöntemle yapılmaktadır.

  1.  Üçgenin Kenar Ölçülerinden Yararlanarak Alan Hesaplaması: Üçgenin kenarlarıyla yapılan alan hesaplamasında üçgenin tabanı ile yüksekliği çarpılır ve 2’ye bölünür. Formülize edilmiş şekli ise, \frac{b.h}{2}=A(ABC)   şeklinde ifade edilmektedir.
  2. Üçgenin Açısından Yararlanarak Alan Hesaplaması: Üçgenin açıları yardımıyla yapılan alan hesaplaması için iki kenarı ve bu iki kenarının arasındaki açının sinüs değeri çarpılır ve 2’ye bölünür. Formülize edilmiş şekli ise, A(ABC)=\frac{a.b.sin\gamma}{2}  şeklinde ifade edilmekedir.
  3. Heron Yöntemi İle Üçgenin Alan Hesaplaması: Bu yöntemde üçgenin çevresinin uzunluğu 2u, yarı çevre uzunluğu ise u ile gösterilir ve A(ABC)=\sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} formülüyle ifade edilir.

Örnek 1: Bir kenarı 10 cm ve sahip olduğu alan 40 cm2 olan ABC üçgeninin yüksekliği kaç cm’dir?

Çözüm 1: Üçgenin alanını kenarı ve o kenara ait yükseklik çarpımının 2’ye bölümüyle buluyoruz. Soruda verilen veriler yardımıyla,  (10 cm x h)/2 = 40 cm²

10 cm x h = 80 cm²

h ( yükseklik) = 8 cm olarak bulunur.

Örnek 2:  Kenar uzunluklar sırasıyla 7 cm, 9 cm, 10 cm olan bir ABC üçgeninin alanı kaç cm²’dir?

Çözüm 2: Üçgenin kenar uzunlukları toplamı yani 2u değeri, 7+9+10 = 26 cm’dir.

u değeri ise 26/2 = 13 cm’dir.

Heron yöntemine göre sayılar yerine yazılıp işlem yapıldığında √936 yani 6√26 olarak ABC üçgeninin alanı bulunur.

Kare Alan Hesaplama

Dört adet kenarı bulunan ve tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan geometrik şekle kare denir. Kare aynı zamanda dikdörtgen ve eşkenar dörtgenin de özelliklerini taşır. Karenin tüm açıları dik açıdır (90 derece).

Karenin alan hesaplaması, 

  1. Bir kenarına a denildiğinde temel olarak a² formülü yardımıyla hesaplanır.
  2. Ayrıca köşegen uzunluğu yardımıyla hesaplandığında bir ABCD karesinin alanı (|AC|.|BD|)/2 köşegenlerinin çarpımının 2’ye bölümüyle hesaplanabilir.

Örnek 1: |AB| kenar uzunluğu 8 cm olan bir ABCD karesinin alanı kaç cm²’dir?

Çözüm 1: Karede tüm kenarlar eşit olduğu için karenin diğer kenar uzunlukları da |AB| kenarı gibi 8 cm uzunluğundadır. Karenin alanını a² formülüyle hesapladığımızda 8²  (8 x 8 ) =64 cm² olarak bulunur.

Örnek 2: ABCD karesinde, |AC|=10m ise A(ABCD) kaç m²’dir?

Çözüm 2: |AC| uzunluğu ABCD kenarının köşegenini oluşturmaktadır. Köşegen uzunlukları eşit olan karenin alanını köşegenler yardımıyla bulmak için  (10 x 10)/2 =50 cm² olarak bulunur.

Dikdörtgen Alan Hesaplama

İki uzun kenarı ve iki kısa kenarı bulunan, karşılıklı kenarlarının uzunlukları birbirine eşit geometrik şekle dikdörtgen denir. Dikdörtgende uzun ve kısa kenarlar birbirine dik olarak uzanmaktadır. Dikdörtgenlerin tüm açıları dik açıdır (90 derece). Aynı zamanda bir dörtgen olan dikdörtgenin köşegen uzunlukları da birbirine eşit olmaktadır.

Dikdörtgenin alan hesaplaması, uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımından elde edilir (a x b). Bir diğer ifadeyle dikdörtgenin alanı tabanı ile o tabana ait yüksekliği çarpımıyla bulunur (T.A. x h).

Örnek 1: ABCD dikdörtgeninin alanı 84 cm² ve uzun kenarının kısa kenarına oranı 7 olan dikdörtgenin kenar uzunlukları kaç olabilir?

Çözüm 1: ABCD karesinin kısa kenarına a uzun kenarına 7a dersek,

dikdörtgenin alanı 7a² = 84 cm² olur.

a² = 12 ve a = 2√3 bulunur.

Kısa kenar uzunluğu 2√3, Uzun kenar uzunuluğu 14√3 olarak bulunur.

Örnek 2: Kısa kenarı a, uzun kenarı b olan dikdörtgen ile kenar uzunluğu c olan kare arasında (a+b)/2 = c bağıntısı bulunmaktadır. Karenin alanı 25 cm2 olduğuna göre, dikdörtgenle karenin alanlarının farkı en fazla kaç olabilir?

Çözüm 2: Karenin alanı, c² =25 cm² ise bir kenarının uzunluğu c = 5 cm’dir.

(a+b)/2 = c bağıntısında  (a+b)/2=5 ise, a+b = 10 olur.

Kare ile dikdörtgenin alanlarının farkının en büyük olması için dikdörtgenin alanını en aza indirgememiz gerekir. Bu nedenle dikdörtgenin kenarlarına a=1 cm ve b=9 cm verilir. Dikdötgenin alanı 9 cm² olur.

karenin alanı ile dikdörtgenin alanının farkı, 25-9 =16 cm² olarak bulunur.

Daire Alan Hesaplama

Bir çember içinde kalan bölgeye daire denilmektedir. Daire geometrik şekli açık daire ve kapalı daire olmak üzere iki türdedir. Eğer dairenin etrafındaki çember daireye dahil ise kapalı daire, çember dahil değil ise açık daire adı verilmektedir. Daire, D harfi ile sembolize edilmektedir. Daire geometrik şeklinden bahsederken çap ve yarıçap terimlerinden sıkça söz edilir. Yarıçap, r ile sembolize edilmektedir.

Dairenin alan hesaplaması,

  1. Dairenin alan hesaplaması, dairenin yarıçapıyla π sayısının çarpılmasıyla hesaplanır ve  (π x r) şeklinde ifade edilir.
  2. Daire diliminin alan hesaplamasında, daire dilimini gören açıya α dersek α/360 . π . r² formülü kullanılır.
  3. Daire kesmesinin alan hesaplamasında, 1/2r² – (α-sinα) ya da πr².(α/360) – 1/2 r²sinα formülü kullanılır.
  4. Daire halkasının alan hesaplamasında, π(r1)²-π(r2)² formülü kullanılır.

Örnek 1: Çapı 2 cm olan O merkezli çemberde, daire kapağını gören açı 60 derecedir. Buna göre dairenin alanı kaçtır?

Çözüm 1: Dairenin kesmesinin alanını bulmak için kullanacağımız, 1/2r² – (α-sinα) şeklinde belirtilen formül yardımıyla, 60 = π/3

1/2.2² – (π/3-sin60)

2π/3-√3 br² olarak bulunur.

Örnek 2: Alanı çevresine sayıca eşit olan çemberin alanı bulunuz.

Çözüm 2: Dairenin alanı πr² ve dairenin çevresi 2πr şeklinde belirtilmiştir.

πr² = 2πr (alan = çevre) eşitliğinde gerekli sadeleştirmeler yapıldığında r = 2 bulunur.

Çevre için ⇒ 2.2.π = 4π ve

Alan için ⇒ π.2² = 4π olarak alanı çevresine eşit olan daireyi bulmuş oluyoruz.

Yamuk Alan Hesaplama

Sadece karşılıklı olan iki kenarı paralel olan geometrik şekle yamuk denir. Yamuk da bir dörtgendir. Yamukta paralel kenaralara tabanlar, paralel olmayan kenarlara yanal kenarlar denilir. Yamukta yanal kenarlarda bulunan açılar birbirini 180 dereceye tamamlar, m(A) + m(D) = 180° , m(B) + m(C) = 180° (bütünler açı).

Yamuğun alanının hesaplaması, alt taban ile üst tabanın toplamının yarısı ve yüksekliğin çarpımı ile yapılır. Alt tabanı a, üst tabanı c olarak adlandırırsak (a+c)/2 . h formülüyle yamuğun alanını hesaplayabiliriz.

Örnek 1: Alt tabanı 10 cm, üst tabanı 8 cm olan bir ABCD yamuğunun yüksekliği 6 cm ise, A (ABCD) kaçtır?

Çözüm 1: Yamuk alan hesaplama formülünden faydalanarak, ABCD yamuğunun alanı (10+8)/2 . 6 =54 cm² olarak bulunur.

Örnek 2: Alanı 60 cm² olan bir ABCD yamuğunun yüksekliği 10 cm ve üst tabanının alt tabanına oranı 1/2 ise ABCD yamuğunun alt tabanı kaç cm’dir?

Çözüm 2: Üst tabana k

Alt tabana ise 2k diyelim,

60 cm² = (2k+k)/2 . 10 ise

60 cm² = 3k/2 . 10

k = 4 cm olarak bulunur. (üst taban)

Alt taban ise 2k = 8 cm olarak hesaplanır.

Elips Alan Hesaplama

Bir geometrik şekil olan elips bir koninin düzlem tarafından kesilmesi sonucunda meydana gelen düzlemsel, ikinci dereceden, kapalı eğridir. Bir başka tanıma göre elips bir düzlemdeki iki noktaya uzaklıkları sabit noktaların geometrik yeridir. Bu noktalar elipsin odak noktalarıdır. Elipsin yedek ekseni (2a uzunluğunda) ve asal ekseni (2b uzunluğunda) bulunmaktadır.

Elips geometrik şeklinin genel denklemi;

  şeklindedir.

Elips alanının hesaplaması (π x a x b) /4 formülü ile yapılmaktadır.

Örnek 1:  Asal eksen uzunluğu 20 cm ve yedek eksen uzunluğu 10 cm olan elipsin alanı kaç cm² olur? (π =3,14)

Çözüm : Asal eksen uzunluğu = 2a =20 cm

a = 10 cm

Yedek eksen uzunluğu = 2b = 10 cm

= b = 5 cm

Buna göre formül yardımı ile (3,14 x 10 x 5)/4 = 39,25 cm² olarak hesaplanır.

Paralelkenar Alan Hesaplama

Paralelkenarların karşılıklı iki kenarları eşit uzunlukta olmaktadır. Bunun yanında iç açıları toplamı 360 derecedir. Paralelkenarda köşegen kareleri toplamı, kenarların kareleri toplamının yarısıdır. Köşegenler birbirlerini iki ayrı eş parçaya ayırır.

Paralelkenar alanının hesaplaması bir kenarının uzunluğu ile yüksekliğinin çarpılması ile (A x h) bulunmaktadır.

Örnek 1: Bir kenar uzunluğu 15 cm ve aynı kenara ait yükseliği 8 cm olan paralelkenarın alanı kaç cm²’dir?

Çözüm : Paralelkenar alan formülünde verilerin yerine yazılması ile alanı hesaplayabiliriz. Buna göre;

Alan = 15 x 8

120 cm² olarak bulunur.

Örnek 2 : Alanı 120 cm² olan bir paralelkenarın yüksekliği 10 cm ise bu paralelkenarın yüksekliğe ait kenarının uzunluğu kaç cm olmaktadır?

Çözüm : Alan = kenar uzunluğu x yükseklik olduğundan;

120 = a x 10

a = 12 cm olarak bulunur.

Alan hesaplamayla ilgili yapılacak olan işlemler bahsettiğimiz şekilde formüller yardımıyla yapılabileceği gibi alan hesaplama araçlarıyla da yapılabilir. Alan hesaplama aracıyla kolayca sonuca ulaşmak için hesaplama yapacağını geometrik şekle ait istenen bilgileri girmeniz ve hesapla butonuna basmanız yeterli olacaktır.

Alan Hesaplama!