Asal Sayı Hesaplama | Sen iste o hesaplasın!

Asal Sayı Hesaplama

Asal sayılar, yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen pozitif doğal sayılardır. Bu nedenle asal sayıların sadece iki pozitif tam sayı bölenleri mevcuttur. En küçük asal sayı 2 ‘dir ve 2’den başka çift asal sayı yoktur. Aklımıza 1’in neden asal sayı olmadığı sorusu gelebilir. Şöyle ki: bir sayının asal sayı olabilmesi için , 1 ve kendisi olmak üzere, […] Daha Fazla Bilgi

Asal sayılar, yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen pozitif doğal sayılardır. Bu nedenle asal sayıların sadece iki pozitif tam sayı bölenleri mevcuttur. En küçük asal sayı 2 ‘dir ve 2’den başka çift asal sayı yoktur. Aklımıza 1’in neden asal sayı olmadığı sorusu gelebilir. Şöyle ki: bir sayının asal sayı olabilmesi için , 1 ve kendisi olmak üzere, yalnızca iki adet böleni olmalıdır.Ancak 1 sayısı yalnızca kendine bölünebildiği için tek böleni vardır. Bu nedenle de asal sayı değildir.

Bileşik Sayılar:

Asal sayıların çarpımları biçiminde yazılabilen sayılara bileşik sayılar denir.  Her doğal sayı, asal sayıların çarpımı biçiminde yazılabilir.Bütün bileşik sayılar birbirinden farklı olması gerekmeyen asal sayıların çarpımı olarak tek biçimde yazılabilirler.

Örneğin, 2 ve 3 asal sayılardır ve 2×3=6 eder. 6 asal sayı değildir ancak asal sayıların çarpımı olduğundan bileşik sayıdır.

2’den büyük tüm çift sayılar bileşik sayıdır.En küçük bileşik sayı 4’tür. 1’den büyük her tam sayı ya asal ya da bileşik sayıdır.

Aralarında Asal Sayılar:

a ve b birer tam sayı (sıfır hariç) olmak üzere, eğer a ve b nin 1’den başka ortak böleni yoksa (yani a ve b nin EBOB’ u 1 ise) a ve b sayıları aralarında asal sayılardır. Aralarında asal sayıların EKOK’u, çarpımlarına eşittir. Ardışık iki tam sayı aralarında asaldır yahut bu tam sayılardan biri sıfıra eşittir.

Asal Sayılar Çizelgesi (Eratosten Kalburu):

Çizelge ile n sayısına kadar olan asal sayılar bulunur. Ancak seçilen n sayısı çok büyük bir sayı olmamalıdır.

Örneğimizde, n’i 100 kabul edersek;

  • Önce 0’dan 100’e kadar tüm doğal sayılar yazılır.
  • 0 ila 1 asal sayı olmadıklarından dolayı, listeden çıkartılır.
  • İlk asal sayı 2’dir. 2’nin kendinden büyük katları çizilir. ( Yani çizilen ilk sayı 4 olacaktır.)
  • Sonra 3’ün kendisinden büyük katları çizilir. 3 asaldır. Çizilmeye 9’dan başlanır.
  • Bu şekilde devam edilir ve sonuçta çizilmeyen sayılar, asal sayılar olarak karşımıza çıkar.

Sonuç olarak Eratosten Kalburu’ nda asal sayıların kendilerinden büyük katları çizildiğinde, çizilmemiş olan en küçük sayı asal sayıdır.

 

Asal Sayı Bulma Yöntemi :

Bir sayının asal sayı olup olmadığını anlamak için bazı yöntemler mevcuttur.

  • P asal ise, √P den küçük hiçbir asal sayı P ile tam bölünmez.
  • P asal ise P sayısı (P-1)!+1 sayısını tam böler.
  • P asal ise,  A(P-1) -1 sayısı P ile kalansız bölünür. Burada A sayısı P ile tam bölünmeyen bir doğal sayıdır.

Doğruluğu İspatlanmış Asal Sayı Teoremleri:

Eğer a asal değilse, 2a – 1 de asal değildir. Yani başka bir deyişle, 2a – 1′ in asal olabilmesi için a’ nın da asal olması zorunludur.

a = 2n  üzeri  biçiminde yazılabilse bile 2a +1 asal olmayabilir.

Sonsuz tane asal sayı vardır. Öklid, Ögeler adlı yapıtının dokuzuncu cildinde, asal sayıların sonsuz olduğunu kanıtlamıştır.

Fermat Sayıları :

{\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}  şeklindeki sayılara Fermat sayıları denir.İsimlerini, bu sayıları ilk kez incelemiş olan Pierre de Fermat‘tan alırlar. Bu sayıların ilk beşi incelenecek olursa;

F0 = 3

F1 = 5

F2 = 17

F3 = 257

F4 = 65537 sonuçlarına ulaşılır.

F0, F1, F2, F3 ve F4, asal sayılardır ve bunlara Fermat asalı denilmektedir. Fermat, bütün Fermat sayılarının asal olduğunu ileri sürmüştür; ancak Leonhard Euler 1732’de F5’i iki çarpana ayırarak bu iddiayı çürütmüştür:

{\displaystyle F_{5}=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417.}

Fermat, asal olmayan bir sayıyı bölenlerine ayırmak için şu yöntemi bulmuştur:

n sayısı iki pozitif doğal sayı için x²-y² biçiminde yazılıyorsa,

n=(x-y)(x+y)

eşitliği doğrudur ve x, y+1 olmadığı müddetçe, n‘yi çarpanlarına ayırmış oluruz.

Mersenne Asal Sayıları :

Mersenne asal sayıları, matematikte ikinin kuvvetlerinin bir eksiği şeklinde olan asal sayılardır. Adını Marine Mersenne’den almıştır.

Asal bir a için 2ª -1  biçiminde yazılan sayılara Mersenne sayıları denir.

a asal ise, Ma = 2ª-1  olarak tanımlanan sayının asal olup olmadığına bakılacak olursa;

a=2 için, M2=3,

a=3 için, M3= 7

a=5 için, M5=31

a=7 için, M7=127

Bu sayıların her biri asaldır ; ancak M7’den sonra gelen ilk Mersenne sayısı olan M11 sayısı asal değildir.

Hangi asal sayılar için Ma’nın asal olacağı bilinmiyor. Ancak Lucas Testi sayesinde Mersenne sayılarının asal olup olmadığı anlaşılır.

1997 senesinden beri bulunan tüm asal sayılar, bir bilgi işlem projesi olan Great Internet Mersenne Prime Search’te yer almaktadır.

Not: Mersenne asalları mod 3 e göre 1 olan asal sayılardır; mod 3’e göre 2 olan asal sayıları vermez yani bütün asalları kapsamaz.

Totient Sayılar Fonksiyonu :

Totient (kısaca φ, n) sayılar teorisinde, bir tam sayının o sayıdan daha küçük ve o sayı ile aralarında asal olan sayma sayı sayısını belirten fonksiyondur. İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından yaratılmıştır.

Yukarıdaki tabloda, φ(n) fonksiyonun ilk 1000 değeri gösterilmiştir.

Goldbach Hipotezi:

7 Haziran 1742 tarihinde, Alman matematikçi Christian Goldbach tarafından ifade edilmiştir. Goldbach hipotezi, ikiden büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı biçiminde yazılabileceğini öngörür.Bu hipotez, çözülememiş en eski matematik problemlerindendir.Çözülememesinin sebebi, tüm sayılar için doğrulanamamasıdır . Gerçi 100 milyondan küçük sayılar için bu hipotezin doğru olduğu biliniyor.

Yukarıdaki tabloda, 52 ile 60 arasındaki çift sayılar Goldbach hipotezi ile incelenmiştir.

Riemann Hipotezi:

Riemann hipotezi, ilk kez 1859 yılında Bertrand Riemann tarafından ifade edilmiş bir problemdir ve henüz çözülememiştir.

Asal sayıların dağılımı, bir örüntüyü takip etmemektedir; ancak Riemann, asal sayıların sıklığının Riemann Zeta Fonksiyonu olarak adlandırdığı bir fonksiyona bağlı olduğunu gözlemledi.

İkiz Asallar Sanısı:

İki asal sayının arasındaki fark iki ise, bu iki asal sayıya ikiz denir. (Örneğin : 3 ile 5, 5 ile 7) İkiz asalların sonsuz adet olup olmadığı bilinmiyor. 1966 tarihinde sonsuz tane p asal sayısı için, p+2 sayısının ya asal ya da iki asalın çarpımı olduğu kanıtlandı.

Bilinen tek üçüz asallar ise (3,5,7) sayılarıdır.

İkiz asallardan her biri, birbirine iki tam sayı uzaklığındadır. Ancak ikiz olmayan asalların birbirine ne kadar uzakta olduğu sorusuna 1896 yılında Charles de la Vallee-Poussin ve Jacques Hadamard, Asal Sayı Teoremi ile cevap aramışlardır ve n asal sayısının bir sonraki asal sayı ile arasındaki uzaklığın yaklaşık olarak ln(n) olacağı sonucuna ulaşmışlardır.

Gauss Teoremi:

Gauss, asal sayıların dağılımının bilinememesine rağmen; belirli bir n sayısına kadar kaç adet asal sayı olduğunun hesaplanabileceğini öngörmüştür.

Dolayısıyla n büyüdükçe asallar sayısı, (n)’e nispetle azalır; ancak hiçbir zaman sıfır olmaz.

Euler’in Şanslı Sayıları:

Euler, geniş aralıklar üzerinde asallar üreten bir polinom bulmuştur. T(k) = k^2 - k + 41  polinomu  [1,40] aralığında asal değerler alır.

Son olarak, kodlama teknikleri ile belirli bir sayıya kadar olan asal sayılar,bu sayıların toplamları yahut çok büyük asal sayılar bulunabilmektedir. While döngüsü olarak adlandırılan yöntem, belirli bir sayıya kadar olan asal sayıların toplamını bulmaya yaramaktadır.

Asal Sayı Hesaplama!