Çevre Hesaplama

Okul yıllarında matematik bilimi kapsamında olan geometriden sıkça bahsedilmiştir. Öğrencinin daha sonraki yıllarda seçeceği meslek grupları arasında mühendislik ve mimarlık gibi bölümlerin olması göz önünde bulundurularak geometri alanında öğrencilere temel oluşturulması amaçlanmıştır. Geometrik şekillerin tanınmasıyla birlikte sonraki aşamalarda geometrik şekiller üzerindeki hesaplamalarla ilgili bilgi verilip günlük hayatta karşılaşabilecek bazı durumlarda geometriden nasıl faydalanılacağı anlatılmıştır. Geometri […] Daha Fazla Bilgi

Hesaplanacak Şekil :

Okul yıllarında matematik bilimi kapsamında olan geometriden sıkça bahsedilmiştir. Öğrencinin daha sonraki yıllarda seçeceği meslek grupları arasında mühendislik ve mimarlık gibi bölümlerin olması göz önünde bulundurularak geometri alanında öğrencilere temel oluşturulması amaçlanmıştır. Geometrik şekillerin tanınmasıyla birlikte sonraki aşamalarda geometrik şekiller üzerindeki hesaplamalarla ilgili bilgi verilip günlük hayatta karşılaşabilecek bazı durumlarda geometriden nasıl faydalanılacağı anlatılmıştır. Geometri bilgisinin günlük hayatta karşımıza çıkmasına örnek olarak bahsettiğimiz gibi sayısal hesaplamaların ve ölçülerin yoğun olduğu mühendislik ve mimarlık uygulamalarını verebiliriz. Oturduğumuz binaların çiziminde, fabrikalarda kullanılan tekniklerde, yol yapımında, gemi yapımında, uçak yapımında geometriden sıkça yararlanılmaktadır. Bu mesleklere sahip olan kişilerin yapması gereken çizimlerde ve hesaplamalarda geometri bilgisini kullanmamaları söz konusu olamaz.

Geometride bulunan şekiller arasında daire, kare, dikdörtgen, üçgen başta olmak üzere birçok geometrik şekil yer almaktadır. Her bir geometrik şeklin kendi içinde farklı kuralları ve farklı hesaplamaları bulunmaktadır. Geometrik formüller sayesinde bu şekillerin alanı, hacmi, çevresi kolayca hesaplanabilmektedir. Biz bu yazıda daire, kare, dikdörtgen ve üçgen, elips, yamuk, paralelkenar geometrik şekillerin çevre hesaplamaları ve uygulamalarından bahsedeceğiz.

Dairenin Çevre Hesaplaması Nasıl Yapılır?

Bir çemberin içinde kalan bölgeye daire adı verilmektedir. Daire iki türde bulunur; açık daire ve kapalı daire. Açık dairede çember daireye dahil edilmez. Kapalı dairede ise çember daireye dahil edilir. Dairenin tam ortasından geçen ve iki eşit parçaya bölen çizgiye çap denir. Dairenin özellikleri şu şekilde sıralanabilir;

  • İki dairenin yarıçaplarının eşit olması daireleri eşit olduğu anlamına gelir.
  • Dairede bulunan iki eşit yayın kirişleri de eşittir ve aynı şekilde iki eşit kirişin yayları da eşittir.
  • Dairede bulunan iki kirişin daireye uzaklığı eşit ise bu kirişler eşittir.
  • Dairede bulunan kirişe dik şekilde indirilen dikme kirişi iki eşit paraya ayırır.
  • Dairede bulunan bir doğru ile çemberin ortak noktasına değen nokta teğet noktası olarak adlandırılır.
  • Çemberde bulunan teğet noktası ile teğet noktasını dairenin merkezine birleştiren nokta birbirine diktir.
  • Dairede bulunan bir AB yayını merkezden gören açı, merkez açı olarak; çevreden gören açı, çevre açı olarak; T noktasındaki teğet ile TD kirişi arasında kalan açı teğet kiriş açısı olarak adlandırılır.
  • Teğet kiriş açıları aynı yayı görüyorsa, bu açılar merkez açının yarısı kadardır.
  • Dairenin merkezini O noktası ve yarıçapını r olarak alınır.

Dairenin çevresini aşağıda bulunan formülle çevre hesaplama yapabilirsiniz.

Dairenin çevresi = 2πr ile bulunur. π sayısının değeri 3,14 olarak alınır.

Örnek 1: Yarıçapı 10 cm olan bir dairenin çevresi kaç cm’dir?

Çözüm 1: Formülde yerine yazdığımızda dairenin çevresi 2 x π x 10 = 20 π cm olarak bulunur.

Örnek 2: Çevre uzunluğu 48 cm olan bir çemberin yarıçap uzunluğu kaç cm’dir? (Pi sayısı 3 alınacaktır.)

Çözüm 2: Dairenin çevre uzunluğu 2πr formülüyle bulunduğundan yarıçapı da aynı formülden hesaplayabiliriz.

48 = 2 x 3 x r

48 = 6r eşitliğinden r = 8 cm olarak bulunur.

Karenin Çevre Hesaplaması Nasıl Yapılır?

Dört kenardan oluşan, tüm kenarları birbiriyle eşit uzunlukta ve tüm açıları birbiriyle eşit derecede olan geometrik şekle kare denilmektedir. Kare geometrik şekli, dikdörtgen ve eşkenar dörtgen özelliğini de taşımaktadır. Karenin özellikleri aşağıdaki gibidir;

  • Karenin kenarları eşit uzunluktadır.
  • Karede karşılıklı iki kenar birbirine paraleldir.
  • Karede bulunan dört açının derecesi 90’dır.
  • Karede iki köşegen bulunur. Uzunlukları eşit olan bu köşegenler, geçtikleri açıların açıortaylarıdır. Yani geçtikleri açıları iki eşit parçaya bölerler.
  • Köşegenlerin kesiştiği noktada oluşan açı 90 derecedir.
  • Köşegenler karenin ağırlık merkezinde kesişir.
  • Bir köşegen diğer köşegeni dik olarak tam orta noktasından keser.

Birbirine dik olan dört eş kenardan oluşan karenin çevresi bulunurken her kenarını ”a” ile harflendirirsek 4a formülüyle çevre hesaplama yapılır.

Örnek 1: Bir kenarı 7 cm uzunluğunda olan karenin çevresi kaç cm olur?

Çözüm 1: Bir kenarı 7 cm olan ve dört kenarı birbirine eşit olan karenin çevresi 4 x 7 = 28  cm olarak bulunur.

Örnek 2: Bir kenarının uzunluğu 25 metre olan kare şeklindeki bir bahçenin etrafına 3 sıra dikenli tel çekilecektir. Kaç metre dikenli tel gereklidir?

Çözüm 2: Karenin şeklindeki tarlanın çevre uzunluğu 4 x 25 =100 cm’dir Bir sıra dikenli tel için 100 cm, 3 sıra dikenli tek için ise 300 cm dikenli tel gerekmektedir.

Dikdörtgenin Çevre Hesaplaması Nasıl Yapılır?

Karşılıklı olan kenarları birbirine eşit, dik ve paralel özellikte olan dörtgene dikdörtgen adı verilmektedir. Dikdörtgenlerde karşılıklı halde bulunan kenarların tam orta noktalarını kesen iki adet simetri ekseni bulunmaktadır. Bu simetri eksenleri birbirine dik açıdadır. Eksenleri kesen nokta, köşegenleri de kesen noktadır. Simetri eksenlerini ve köşegenleri kesen noktaya simetri merkezi denilmektedir. Dikdörtgenin özellikleri ise şöyledir;

  • Dikdörtgende 4 adet açı bulunmaktadır.
  • Dikdörtgende bulunan 4 açının da derecesi 90’dır.
  • Dikdörtgenin iç açılarının toplamı 360 derecedir.
  • Dikdörtgende karşılıklı bulunan kenarların uzunlukları birbirine eştir.
  • Dikdörtgen simetrik özellik gösteren bir geometrik şekildir.
  • Dikdörtgende karşılıklı bulunan kenarlar birbirine paraleldir.
  • Dikdörtgende iki adet köşegen bulunur.
  • Dikdörtgende bulunan köşegenlerin uzunlukları birbirine eşittir.

Birbiriyle karşılıklı olan kenarları eşit olan dikdörtgenin kısa kenarlarına ”a” ve uzun kenarlarına ”b” denilirse, dikdörtgenin çevre uzunluğu 2a + 2b formülüyle çevre hesaplama yapılır.

Örnek 1: Kısa kenar uzunluğu 10 cm ve uzun kenar uzunluğu 20 cm olan dikdörtgenin çevresinin uzunluğunu bulunuz.

Çözüm 1: Dikdörtgenin çevre uzunluğu kısa ve uzun kenar uzunlukları formülde yerine koyularak

(2 x 10) + ( 2 x 20 ) işlemiyle 60 cm olarak bulunur.

Örnek 2: Kısa kenarı uzun kenarının yarısı kadar olan dikdörtgenin uzun kenarı 80 metre ise dikdörtgenin çevresi kaç metredir?

Çözüm 2: Dikdörtgenin kısa kenarı uzun kenarının yarısı ise kısa kenar 80/2 = 40 cm olarak bulunur. Dikdörtgenin çevresi 2a+2b formülünden (2 x 40) + (2 x 80) = 240 cm olarak bulunur.

Üçgenin Çevre Hesaplaması Nasıl Yapılır?

Geometrinin başta gelen şekillerinden biri de üçgendir. Üç noktanın birleşmesiyle ortaya çıkan geometrik şekillere üçgen adı verilmektedir. Üçgenin özelliklerine bakıldığında;

  • Bir üçgende üç adet köşe bulunmaktadır.
  • Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir.
  • Bir üçgende bulunan dış açıların toplamı 360 derecedir.
  • Üçgende bulunan bir dış açı, kendisine komşu olmayan diğer iki açının toplam değerine eşit olmaktadır.

Üçgen Çeşitleri

Üçgenler; kenarlarına göre üçgenler ve açılarına göre üçgenler olmak üzere iki gruba ayrılmaktadır.

Kenarlarına Göre Üçgenler

Kenarlarına göre üçgenler 3’e ayrılmaktadır.

  1. Eşkanar Üçgen: 3 kenarı da birbirine eşit olan üçgenlere eşkenar üçgen denilmektedir. Eşkenar üçgenlerde üçgenin tabanına indirilen dikme eşkenar üçgen için açıortay ve kenarortay olmaktadır.
  2. İkizkenar Üçgen: Herhangi 2 kenarı birbirine eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denilmektedir. İkizkenar üçgenlerde eşit kenarların diğer kenarla yaptıkları açılar da birbirine eşittir. Eşit uzunlukta olmayan kenara dikme indirildiğinde ikizkenar üçgen için açıortay ve kenarortay olmaktadır.
  3. Çeşitkenar Üçgen: Her bir kenarı farklı uzunlukta olan üçgenlere çeşitkenar üçgen denilmektedir. Çeşitkenar üçgenlerde simetri ekseni bulunmamaktadır.

Açılarına Göre Üçgenler

Açılarına göre üçgenler 3’e ayrılmaktadır.

  1. Dar Açılı Üçgen: Üçgende bulunan üç açının da ölçüsü 90 derecen küçükse bu üçgenlere dar açılı üçgen denilmektedir.
  2. Dar Açılı Üçgen: Üçgenin herhangi bir açısı 90 derece ise bu üçgenlere dik açılı üçgen denilmektedir. Üçgenin yüksekliği dik olan kenarlarından birisi olur. Dik açılı üçgende, üçgenin en uzun kenarına hipotenüs denir. Hipotenüs 90 derece olan açının karşısında olan kenardır.
  3. Geniş Açılı Üçgen: Herhangi bir açısı 90 dereceden fazla ise bu üçgenlere geniş açılı üçgen denilir. Geniş açılı üçgenlerde, açılardan sadece bir tanesi geniş açılı olabilmektedir.

Kenarlarına ve açılarına göre sınıflandırılan üçgenlerin çevre hesaplamalarını yapabilmek için üçgenin tüm kenarları toplanır ve üçgenin çevresi Ç = a+b+c formülüyle bulunur.

Örnek 1: Kenar uzunlukları 10 cm, 18 cm ve 22 cm olan çeşit kenar üçgenin çevresi kaç cm’dir?

Çözüm 1: Üçgenin çevre uzunluğu formülü olan Ç = a+b+c ile kenar uzunluklarını formülde yerine yazarak üçgenin çevresini hesaplayabiliriz.

Çevre = 10+18+22 = 50 cm’dir.

Örnek 2: Çevresi 100 cm, kenar uzunlukları 32 cm ve 28cm olan üçgenin verilmeyen kenarı kaç cm’dir?

Çözüm 2: Bu örnekte de verilenler formülde yerine yazıldıktan sonra diğer kenarın uzunluğu bulunur.

100 = 32+28+c  ise c = 40 cm olarak bulunur.

Örnek 3: Bir kenarı 27 cm olan eşkenar üçgenin çevresi kaç cm’dir?

Çözüm 3 : Eşkenar üçgende tüm kenarlar eşit olduğu için Ç = 27+27+27 = 81 cm ya da 27 x 3 =81 cm şeklinde bulunabilir.

Elips Çevre Hesaplama Nasıl Yapılır?

Elips geometrik şekli bir koninin bir düzlem tarafından kesilmesi ile elde edilmektedir. Elipsler; düzlemsel, ikinci dereceden ve kapalı eğrilerdir. Ayrıca elipsi bir düzlemde yer alan iki ayrı noktaya olan uzaklıkları sabit noktaların geometrik yeri olarak da tanımlamak yanlış olmayacaktır. Söz konusu olan iki nokta elipsin odaklarıdır. Elips geometrik şeklinde yedek eksen ve asal eksen yer almaktadır. Asal eksen uzunluğu 2a ve yeden eksen uzunluğu 2b ile belirtilmektedir.

Elips geometrik şeklinin genel denklemi;

  şeklindedir.

Elips geometrik şeklinin çevre uzunluğunun bulunmasında kullanılan çevre formülü ise [π x (a + b)] / 2 şeklindedir.

Örnek 1: Asal eksen uzunluğu 20 cm ve yedek eksen uzunluğu 10 cm olan bir elipsin çevresinin uzunluğu kaç cm’dir? (π = 3,14 alınacaktır.)

Çözüm: Asal eksen uzunluğu olan 2a uzunluğu 20 cm ise a uzunluğu 10 cm olarak bulunur.

Aynı şekilde yedek eksen uzunluğu olan 2b uzunluğu 10 cm ise b uzunluğu 5 cm olarak bulunur.

Buna göre verileri formülde yerine yazdığımızda [3,14 (10+5)] / 2 =23,56 cm olarak hesaplanmış olur.

Paralelkenar Çevre Hesaplama Nasıl Yapılır?

Karşılıklı yer alan kenarların uzunlukları eşit ve iç açıları toplamı 360 derece olan dörtgenlere paralelkenar denilmektedir. Paralelkenarın özelliklerine bakıldığında;

  • Paralelkenarın köşegenlerinin kareleri toplamı kenarlarının kareleri toplamına oranı 2’dir.
  • Paralelkenarda köşegenler birbirlerini iki eş parçaya böler.

Paralelkenarların çevre uzunluklarının hesaplamasında 2 (a+b) formülünden yararlanılır.

Örnek 1: Kısa kenar uzunluğu 2 cm ve uzun kenar uzunluğu 4 cm olan bir paralelkenarın çevresi kaç cm uzunluğundadır?

Çözüm: Kısa kenar uzunluğunu a, uzun kenar uzunluğunu b ile ifade edecek olursak paralelkenarın çevresi,

2 (2+4) =12 cm olarak bulunur.

Örnek 2: Çevresi ve kısa kenar uzunluğu bilinen ve aşağıda verilen bir paralelkenarın uzun kenarı kaç cm’dir?

Çevre uzunluğu = 20 cm

Kısa kenar (a) = 4 cm

Paralelkenar çevre formülünden yararlanarak uzun kenara ait uzunluğu hesaplayabiliriz. Buna göre;

20 = 2 (4+b)

20 = 8+2b

12 = 2b

6 = b

Uzun kenara ait uzunluk 6 cm olarak bulunur.

Yamuk Çevre Hesaplama Nasıl Yapılır?

Sadece iki kenarı paralel olan dörtgenlere yamuk denilmektedir. Yamukta paralel olan kenarlar yamuğun tabanını oluştururken paralel olmayan diğer kenarlar ise yanal kenarlarını oluşturmaktadır. Yamuğun özelliklerine bakacak olursak;

  • Yamukta bulunan yanal kenarlar üzerindeki açılan bütünler açılardır. Buna göre; m(A) + m(D) = 180°, m(B) + m(C) = 180° olmaktadır.
  • Yamuğun yan kenarlarını tam ortadan birleştiren doğru parçası yamuğun orta tabanı olmaktadır.
  • Yamuğun orta taban uzunluğu, alt taban ve üst taban uzunluklarının yarısı uzunluğunda olmaktadır.

Örnek 1: Yan kenarları eşit uzunlukta olan, alt kenar uzunluğu 10 cm ve üst kenar uzunluğu 20 cm olan bir yamuğun çevre uzunluğu 50 cm ise bir yan kenar uzunluğu kaç cm’dir?

Çözüm: Yamuğun çevre uzunluğundan alt kenar ve üst kenar uzunluğunun çıkarılması ile geriye yan kenar uzunlukları kalmaktadır.

50 – (10+20) = 20 cm

İki yan kenar uzunluğu 20 cm olan yamuğun bir yan kenarının uzunluğu 10 cm olmaktadır.

Tüm bu formüllerle yapılan çevre hesaplamalarının yanında çevre hesaplama araçlarıyla gerekli olan verileri (kare, dikdörtgen ve üçgen için kenar uzunlukları, daire için yarıçap uzunluğu) girdikten sonra sonuca tek tık yardımıyla ulaşabilirsiniz.

Çevre Hesaplama!