Dik Üçgende Trigonometrik Hesaplamalar

Matematiğin bir alt dalı kabul edilen geometrinin en temel konularından biri de dik üçgende trigonometrik hesaplamalardır. Trigonometri sayesinde dik üçgende kenar hesaplama, açı hesaplama gibi konuların daha hızlı çözüme kavuşması sağlanır. Trigonometri nedir? Yunan dilinde üçgen anlamına gelen trigönon ve ölçmek anlamına gelen metron kelimelerinin birleşimiyle ortaya çıkan trigonometri, üçgen adını verdiğimiz geometrik şekillerin açıları […] Daha Fazla Bilgi

Matematiğin bir alt dalı kabul edilen geometrinin en temel konularından biri de dik üçgende trigonometrik hesaplamalardır. Trigonometri sayesinde dik üçgende kenar hesaplama, açı hesaplama gibi konuların daha hızlı çözüme kavuşması sağlanır.

Trigonometri nedir?

Yunan dilinde üçgen anlamına gelen trigönon ve ölçmek anlamına gelen metron kelimelerinin birleşimiyle ortaya çıkan trigonometri, üçgen adını verdiğimiz geometrik şekillerin açıları ve kenarları arasındaki bağıntıları esas alan bir matematik dalıdır. Trigonometri ile üçgendeki açı ve kenarların (bir üçgende toplam üç adet açı ve üç adet kenar olmak üzere altı tane değer bulunur) bir tanesi kenar olması koşulu ile en az üç tanesini bildiğimiz durumda diğerlerini de kolayca hesaplayabiliriz.

Trigonometrik fonksiyonlar adını verdiğimiz açı ve kenar ilişkilerinden meydana gelen formüller yardımıyla trigonometrik hesaplamalar çözüme kavuşturulur. Trigonometrik fonksiyonlar ise sinüs, kosinüs, tanjant ve bu fonksiyonlar sayesinde türetilen sekant, kosekant ve kotanjant fonksiyonlarıdır.

Sinüs’ün kısaltması sin iken, kosinüs için cos, tanjant için tan, sekant için sec, kosekant için cosec, kotanjant için cot kısaltmaları kullanılır. Kotanjant zaman zaman cotanjant, kosinüs ise cosinus, sekant da cosecant olarak karşımıza çıkabilir.

Trigonometrinin kullanım alanları nelerdir? Trigonometri ne işe yarar?

Trigonometri için içinde üçgen geçen her dalda işe yarayan bir matematik dalı tanımlaması yapılır. Trigonometrinin ilk zamanlarda arazi ölçümü yapmak ve yıldızların konumunu ölçmek gibi konularda da kullanıldığı bilinir. Daha sonra trigonometrik hesaplamalar bilim ve teknolojinin yer aldığı her bölgede karşımıza çıkan bir hale bürünmüştür.

Trigonometri; matematik, fizik ve geometri gibi birçok bilim dalına yardımcı olur. Dik üçgende trigonometrik hesaplamalar sayesinde; yapılarda eğer ki bir dik üçgen şeklinde bir bölüm var ise yüksekliğe, genişliğe göre bu bölümün taban açısının kaç olması gerektiği konusu çözüme kavuşturulabilir. Bu çözümün ardından elde edilen sonuca göre kalıp yapma, kolon ya da kiriş koyma, kullanılacak malzemelerin boyutlarının ne kadar olacağı, hangi malzemelerin sipariş edilmesi gibi kararların alınması da daha kolay şekilde yapılır.

Trigonometri bilgisayar alanında da çok defalarca faydalanılan bir bilim dalıdır. Makine tasarımı ya da yapı inşası gibi durumların yanı sıra bilgisayar oyunlarında bile trigonometriden yararlanılır. Şöyle ki, bir oyunda yukarı mesafelere doğru açılı bir şekilde gönderilen topun fırlatıcı araç ya da kişinin yaptığı açıya göre yön alması ve bu açıya uyumlu şekilde hareket edebilmesi için trigonometrik hesaplamalardan faydalanılır.

Trigonometrik Fonksiyonlar Nelerdir?

Yukarıda da belirttiğimiz gibi trigonometrik fonksiyonlar; sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant, sekant ve kosekanttır.

Dik üçgende trigonometrik hesaplama yapabilmek için aşağıdaki basit üçgeni örnek alabiliriz.

dikucgen

Dik Üçgende Sinüs Hesaplama

Yukarıdaki şekildeki gibi bir dik üçgende sinüs hesaplama yapmak oldukça basittir.

Sin A değeri bulmak için karşı kenar uzunluğunun hipotenüs (yani en uzun kenar) uzunluğuna oranı alınır.

Bu örnekte sin A değeri  a / c’ye eşittir.

Şöyle ki örneğimizde a kenarının üç santimetre, b kenarının dört santimetre, c kenarının da beş santimetre olduğunu kabul edelim.

Bu durumda sin (A) değeri yani A açısının sinüsü, a / c’den 3 / 5 olacaktır.

Dik Üçgende Kosinüs Hesaplama

Sorularda bir açının kosinüsü istenirken cos X şeklinde ifade edilir. Yukarıdaki örnekten yola çıkarak A açısının kosinüsünü bulak gerekirse bunun için komşu kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranını almamız gerekecektir.

Yani cos A için b / c işlemi bize sonucu verecektir.

Sinüs hesaplamada olduğu gibi yine a kenarının uzunluğunu üç santimetre, b kenarının uzunluğunu dört santimetre ve c kenarının yani hipotenüsün uzunluğu beş santimetre kabul edersek, yukarıdaki örnekte A açısının kosinüsü komşu / hipotenüs formülünden 4 / 5 olarak karşımıza çıkacaktır.

Dik Üçgende Tanjant Hesaplama

Dik üçgende tanjant hesaplaması yaparken karşı kenarın komşu kenara oranı alınır. Diğer taraftan ilgili açının sinüsünün kosinüsüne oranı alınsa da aynı sonuca ulaşmak mümkündür.

Daha açık bir şekilde ifade etmek gerekirse, A açısının tanjantını bulmak için;

tan A = Karşı kenar uzunluğu / Komşu kenar uzunluğu

ya da

tan A = sin A / cos A

Bir örnekle daha açık hale getirelim,

Yukarıdaki dik üçgende a kenarının uzunluğu üç santimetre, b kenarının uzunluğu dört santimetre, c kenarının uzunluğu da beş santimetre olsun.

Tan A = Karşı kenar uzunluğu / Komşu kenar uzunluğu formülünden yola çıkarak a / b’den 3 / 4 sonucuna ulaşıyoruz.

Tan A = sinüs A / kosinüs A formülünden yola çıkarsak da yukarıda hesapladığımız üzere A açısının sinüsü 3/5, kosinüsü de 4/5’ti.

3/5’in 4/5’e oranını aldığımızda da yine 3 / 4’e ulaşıyoruz.

Dik Üçgende Kotanjant Hesaplama

Tanjant fonksiyonunun çarpmaya göre tersi bir fonksiyon olan kotanjant’ı bulmak için gerekli olan formül şudur:

Cot A = 1 / tan A

ya da

Cot A = cos A / sin A

Yani, yukarıdaki üçgende yer alan A açısının kotanjantını bulmak için A’nın komşu kenar uzunluğunun karşı kenar uzunluğuna oranını bulmamız gerekmektedir.

Dik Üçgende Sekant Hesaplama

Sekant da kosinüs fonksiyonunun çarpma işlemine göre tersi olan bir yapıdadır. Yukarıdaki üçgende yer alan A açısının sekantını bulmak için;

Sec A = 1 / cos A işlemi yapılabilir ya da c kenarının yani hipotenüsün uzunluğunun komşu kenara olan uzunluğu alınabilir.

Yani, sec A = c / b işlemi de bize A açısının sekant değerini vermektedir.

Dik Üçgende Kosekant Hesaplama

Trigonometrik hesaplamalarda sinüs fonksiyonunun çarpma işlemine göre tersine kosekant denir. Yukarıdaki dik üçgende yer alan A açısının kosekant değerini bulmak için ihtiyacımız olan formül şu şekildedir:

csc A = 1 / sin A

Öte taraftan kosekant A değeri, hipotenüsün yani en uzun kenarın, karşı kenara olan uzunluğuna eşit olacağı için;

Csc A = Hipotenüs uzunluğu / Karşı Kenar uzunluğu yani c / a değeri de bize kosekant A’nın değerini vermektedir.

Dik Üçgende Kenar Hesaplama

Dik üçgende kenar hesaplama çok basit bir mantığa dayanır. Hipotenüs yani dik açının karşısında yer alan, en uzun kenarın uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın uzunluklarının kareleri toplamına denk düşmektedir.

Örneğin, hipotenüs uzunluğu 5 santimetre olan, diğer kenar uzunluğu da 3 santimetre olan bir üçgenin bilinmeyen kenarının uzunluğunu hesaplamak için şu adımlar izlenir:

Hipotenüsün kenar uzunluğunun karesi alınır.

Bilinen kenar uzunluğunun karesi alınır.

Hipotenüs uzunluğunun karesinden bilinen kenar uzunluğunun karesi çıkartılır.

Çıkan sonucun karekökü alınır.

Bu adımları örneğe uyarladığımız zaman 5’in karesini alarak 25 sonucuna ulaşıyoruz. 3’ün karesi de 9 olduğuna göre, 25’ten 9’u çıkartıp 16’ya ulaşıyoruz. 16 da bize bilinmeyen kenarın karesini veriyor. Bilinmeyen kenarın kendisini bulmak için 16’nın karekökünü alıyoruz ve 4 sonucuna ulaşıyoruz.

Dik Üçgende Hipotenüs Hesaplama Formülü

Dik üçgende, hipotenüsün uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.

Yani,

Hipotenüsün karesi = Birinci kenarın karesi + İkinci kenarın karesi formülü bize dik üçgende doksan derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğunu vermektedir.

Bir örnekle açıklayacak olursak, hipotenüs uzunluğunu bilmediğimiz bir dik üçgende diğer iki kenarın uzunlukları sırasıyla 9 cm ve 12 cm olsun. Buna göre, bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm’dir?

Hipotenüsün karesi = Birinci kenarın karesi + İkinci kenarın karesi

Yukarıdaki formülden yola çıkarak öncelikle 9’un karesini alır ve 81 sonucuna ulaşırız, daha sonra 12’nin karesini alır ve 144 sonucuna ulaşırız. Bu iki sonucu topladığımızda hipotenüs uzunluğunun karesiyle karşılaşmış olacağız. 144 + 81 işleminde 225 sonucunu elde ederiz ve hipotenüsün kenar uzunluğunu bulmamız için bu sonucun karekökünü almamız gerekir. 225’in karekökü de 15’e denk düşer.

Üçgen Açı Hesaplama Formülleri

Bir üçgende iç açıların toplamı 180 derecedir. Buna göre, üçgende yer alan açılara sırasıyla x, y ve z dersek;

X+ Y + Z’nin 180’e denk düşmesi gerekmektedir.

Öteki taraftan bir üçgenin dış açılarının toplamı da 360 dereceye denk düşmektedir.

Bu yazımızda, dik üçgende trigonometrik hesaplamalar konusunu işledik ve dik üçgende sinüs açı hesaplama, kosinüs açı hesaplama, tanjant açı hesaplama, kotanjant açı hesaplama, sekant açı hesaplama, kosinüs açı hesaplama gibi tüm maddelere ayrı ayrı değindik. Açı – kenar bağıntılarından oluşan trigonometrik hesaplamalarındaki temel işlemi kavradığınız zaman üçgen kenar hesaplama programı, üçgen açı hesaplama programı gibi ek uygulamalara başvurmanıza gerek kalmayacaktır.

Dik Üçgende Trigonometrik Hesaplamalar!