Eğim Hesaplama

Eğim hesaplama konusu birkaç başlık altında bulunuyor.Bir yüzeyin, yatay bir düzlem üzerine doğru az ya da çok oranda eğik halde durması eğim olarak adlandırılmaktadır. Aslında gün içinde kullandığımız çoğu cismin bir eğimi vardır. Örneğin; balık tutarken kullandığımız oltayı denize attığımız anda bir eğime sahip olmaktadır. Başka bir örnek verecek olursak dizüstü bilgisayarların ayarlanabilir ekranları da […] Daha Fazla Bilgi

Dikey Uzunluk:
Yatay Uzunluk:

Eğim hesaplama konusu birkaç başlık altında bulunuyor.Bir yüzeyin, yatay bir düzlem üzerine doğru az ya da çok oranda eğik halde durması eğim olarak adlandırılmaktadır. Aslında gün içinde kullandığımız çoğu cismin bir eğimi vardır. Örneğin; balık tutarken kullandığımız oltayı denize attığımız anda bir eğime sahip olmaktadır. Başka bir örnek verecek olursak dizüstü bilgisayarların ayarlanabilir ekranları da eğim olarak nitelendirilebilir. Herhangi bir eğimi olmayan cisimlerin eğimleri sıfır olarak gösterilir.

Matematiksel anlamda eğim, bir doğrunun üzerinde bulunan herhangi iki ayrı nokta arasında yer alan dikey değişimin yatay değişe oranı olarak ifade edilmektedir. Daha açık bir ifade ile eğim, iki nokta arasında yer alan yükselti farkının yatay uzaklığa olan oranıdır. Koordinat düzlemi üzerinde yer alan bir doğruya ait eğim ”m” harfi ile gösterilir.

Bu şekilde tanımlanan eğim içinde geometriyi de barındıran matematiksel işlemlerde ve harita hesaplamalarında eğim sıkça kullanılmaktadır. Biz de sizlere yazının devamında eğimden ve eğim hesaplamalarından bahsedeceğiz. Bu sebeple yazı içerisinde eğim hesaplama formülü, eğim yüzdesi hesaplama, haritada eğim hesaplama ve geometride eğim hesaplama konularına yer vereceğiz.

Eğim Hesaplama Formülü

Eğim hesaplaması yapabilmek için eğim formülünden yararlanılmaktadır. Doğru üzerimde bulunan bir doğrunun eğimini bulmak için m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}  formülü kullanılmaktadır. Doğrunun koordinatları olan x1,  x2, y1 ve y2 noktalarının formülde yerine yazılması ile ”m” harfi ile ifade edilen doğrunun eğimi elde edilmektedir.

Örnek: Koordinat düzleminde A (0,1) ve B (1,2) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

Çözüm: Doğru eğiminin bulunması için doğrunun geçtiği noktaların formülde yerine yazılması ile birlikte doğrunun eğimi elde edilmektedir.

Eğim (m) = (y2 – y1)/(x2 – x1) = (2 – 1)/(1 – 0) = 1 olarak bulunur.

Eğim Yüzdesi Hesaplama

Eğimin bazı durumlarda yüzdesel olarak değerinin bulunması gerekebilir. Bu durumda eğim yüzdesi hesaplanması yapılmalıdır. Eğim değerinin yüzdesel değerinin bulunması gereken durumlarda eğim oranı yüz ile çarpılır. Bunun yanında eğim değeri binde olarak bulunacak ise bin ile, derece olarak bulunacak ise altmış ile çarpılarak eğimin istenen değeri hesaplanır.

Eğimin yüzde, binde ya da derece olarak hesaplamasını formülize edecek olursak;

Eğim (m) = [Yükseklik Farkı (metre) / Yatay Uzaklık (metre) ] x (100, 1000 ya da 60) formülü ile bulunmaktadır. Çoğu zaman yatay mesafenin kilometre (km) cinsinden verildiği durumlarla karşılaşılabilir. Yatay mesafenin kilometre (km) cinsinden verilmesi halinde verilen uzunluk değerine üç tane sıfır ekleyerek (000) birimi kilometreden metreye çevrilir.

Örnek: İki nokta arasındaki yükselti farkı 50 m ve yatay uzaklık 1 kilometre (km) ise iki nokta arasında bulunan eğimi yüzdesel olarak hesaplayınız.

Çözüm: Yukarıda verilen formülden yararlanarak eğimi yüzdesel olarak hesaplayabiliriz. Ancak daha öncede belirtildiği gibi yatay uzaklığı kilometre cinsinden metre cinsine çevirmek gerekmektedir.

1 km = 1000 m olarak yatay uzaklığın değerini kilometreden metreye çevirdikten sonra örnekte belirtilen veriler formülde yerine yazılmalıdır. Buna göre;

Eğim (m) = (50 / 1000) x 100 = 5 olarak bulunur.

Haritada Eğim Hesaplama

Haritalarda eğim bulunması da oldukça karşılaşılan bir hesaplamadır. Haritaların ölçekleri, coğrafi şekillerin eğimi, denizler ile yükseltiler arasında bulunan eğimi haritada eğim hesaplaması ile bulabilmekteyiz. Haritada eğim hesaplamak için Eğim = Yükselti Farkı (h) / Uzunluk (l) x 100 veya 1000  formülünden yararlanılmaktadır.

Aşağıda harita hesaplamalarında kullanılan eğim hesaplamaları ile ilgili örnekler yer almaktadır.

Örnek 1: Deniz seviyesinden aracı ile yola çıkan bir kişi 2200 metre yüksekliğe sahip olan bir noktada mola vermiştir. Yola çıkan kişinin aracı ile toplam 20 kilometre yol aldığı bilindiğine göre eğim yüzdesini bulunuz.

Çözüm: İki nokta arasındaki yükselti farkı (h) = 2200 – 0 = 2200 metredir.

Yatay mesafe uzunluğu (L) = 20 kilometre = 20000 metre (km cinsinden m cinsine çevrilmelidir.)

Eğim (m) = 2200 x 100 / 20000 işleminden yüzde 11 olarak hesaplanır.

Örnek 2: İki nokta arasında bulunan uzaklığın 30 cm olduğu bilenen haritanın ölçeği 1/500000’dür. İki nokta arasındaki yükselti farkı 900 metre ise eğim binde kaçtır?

Çözüm: Soruda çözüme ulaşmak için öncelikle iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak gerekmektedir. Bunun için;

Gerçek Uzunluk = Harita Uzunluğu x Ölçek Paydası
Gerçek Uzunluk = 30 x 500 000
Gerçek Uzunluk = 15 000 000 cm = 150 000 m
G.U. = L = 150 000 m ve yükseklik (h) 900 m olduğuna göre,

Eğim (m) =900 x 1000 / 150 000 işleminden binde 6 olarak bulunur.

Örnek 3: Bir arazide bulunan iki nokta arasındaki yükselti farkı ile mesafenin oranı, iki nokta arasındaki eğimi vermektedir. Şekilde görülen izohips haritada yer alan A ve B noktaları arasındaki mesafenin 6 km olduğu bilindiğine göre A ve B noktaları arasındaki eğimi yüzdesel olarak bulunuz.

Çözüm: Örneğin çözümü için öncelikle L değerinin bulunması gerekmektedir. İzohips haritada yükselti farkları 200 metredir. A noktası 0 metre ve B noktası 1200 metre yükseklikte bulunmaktadır. A ve B noktaları arasındaki yükselti farkı 1200 metredir. İki nokta arasındaki yatay mesafe ise örnekte verildiği üzere 6 km yani 6000 metredir. Bulunan ve verilen değerleri formülde yerine yazarak eğim hesaplaması yapabiliriz.

Eğim (m) = 1200 x 100 / 6000
Eğim (m) = 120000 / 6000
Eğim (m) = yüzde 20 olarak bulunur.

Örnek 4: Deniz seviyesinden yükselen bir dağın tepe noktasına kadar olan yatay uzaklığı 5 kilometredir. Dağın yükseltisi 300 metre olduğuna göre, eğimi bulunuz.

Çözüm: Yükseklik (h) = 300 – 0 = 300 metredir
Yatay mesafe (L) = 5000 metre

Eğim (m) = 300 x 1000 / 5000
Eğim (m) = 300000 / 5000
Eğim (m) = binde 60 olarak bulunur.

Örnek 5: A ve B noktaları arasındaki mesafe haritada 8 cm olarak gösterilmektedir. Bu iki nokta arasındaki eğim yüzde 4, harita ölçeği 1/400 000 ve B noktası 200 m yükseklikte ise A noktasının yüksekliğini bulunuz.

Çözüm: Öncelikle iki nokta arasındaki yükselti farkını bulmak gerekmektedir.
Gerçek Uzunluk = Harita Uzunluğu x Ölçek Paydası
Gerçek Uzunluk = 8 x 4 = 32 km

Gerçek uzunluğunun bulunmasının ardından eğim kullanılır.
4 (eğim) = Yükseklik x 100 / 32000 (metre)
128 000 = h x 100
Yükselti farkı (h) = 1280 metre
A noktasının yüksekliği 200+1280 = 1480 metre olarak bulunur.

Geometri Eğim Hesaplama

Eğim (m), geometride dik üçgende bulunan dikey uzunluğun yatay uzunluğa bölünmesi ile bulunmaktadır.

Eğim (m) = (dikey uzunluk)/(yatay uzunluk) formülü kullanılarak hesaplanmaktadır.

Geometride eğim hesaplamasının bulunması ile ilgili olarak aşağıda bazı örneklere yer verilmiştir.

Örnek 1: Bir dik üçgende dik kenarın uzunluğu 10 cm ve yatay kenarın uzunluğu ise 15 cm’dir. Buna göre iki dik kenar arasına çizilen doğrunun eğimi kaçtır?

Çözüm: İki nokta arasına çizilen doğrunun eğimi dikey kenar uzunluğunu ile yatay kenar uzunluğuna bölünmesi ile hesaplanmaktadır. Buna göre doğrunun eğimi 10 / 15 = 0,66 olarak bulunur.

Örnek 2: Duvara dayalı şekilde duran bir merdivenin eğimi yüzde 75 ve merdiven ile duvar arasında bulunan yatay mesafe 8 m ise merdivenin tepe noktasının duvarla kesiştiği noktanın yüksekliği kaç cm’dir?

Çözüm: % 75 = 75 /100 dür. Bunu oransal olarak yazacak olursak 3k / 4k ifade edebiliriz.

3k = duvar yüksekliği ve 4k = 8 m ise, merdivenin tepe noktasının duvarla kesiştiği noktanın yüksekliği 6 m olarak bulunur.

Üçgende yer alan bir açıya göre eğim hesaplaması yapabilmek için tanjanttan faydalanılmaktadır. Tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara bölünmesi ile hesaplanmaktadır.

Örnek 3: |AB| = 3 cm, |BC| = 5 cm ve |AC| = 4 cm uzunluğundadır. C açısına α denilir ise, eğimi bulunuz.

Verilen bilgiler doğrultusunda eğim tanα ile bulunabilir. Buna göre eğim α açısının gördüğü karşı dik kenarın komşu dik kenara bölünmesi ile hesaplanır. Sonuç olarak eğim (m) = 3 / 4 işleminden %75 olarak bulunur.

Tüm bu verilen bilgilerin yanında hesaplama aracı ile eğim hesaplaması yapabilmek için hesaplama aracına girmeniz ve istenen bilgileri yazdıktan sonra hesaplama butonuna basmanız yeterli olacaktır. Gerekli adımların ardından bulmak istenilen yere ait eğimi kolayca hesaplanmış olacaktır.

Eğim Hesaplama!