Faktöriyel Hesaplama

Matematikte hesaplamalarda kullanılan bir konu da faktöriyeldir. Uzun uzun çarpım işlemleri yapmak yerine bir sayının kendisinden başlayarak geriye doğru 1’e kadar olan çarpımları faktöriyel (!) ile gösterilmektedir. Faktöriyel ile ilgili hesaplamalar en çok permütasyon problemlerinde karşımıza çıkmaktadır. Faktöriyel hesaplamaları oldukça anlaşılır olmakla birlikte birkaç küçük kuralı da bilmek gerekmektedir. Bu sebeple faktöriyelin ne olduğu, faktöriyel […] Daha Fazla Bilgi

Hesaplanacak sayı:

Matematikte hesaplamalarda kullanılan bir konu da faktöriyeldir. Uzun uzun çarpım işlemleri yapmak yerine bir sayının kendisinden başlayarak geriye doğru 1’e kadar olan çarpımları faktöriyel (!) ile gösterilmektedir. Faktöriyel ile ilgili hesaplamalar en çok permütasyon problemlerinde karşımıza çıkmaktadır. Faktöriyel hesaplamaları oldukça anlaşılır olmakla birlikte birkaç küçük kuralı da bilmek gerekmektedir. Bu sebeple faktöriyelin ne olduğu, faktöriyel kuralları ve faktöriyel hesaplamasına yazımız içerisinde değineceğiz.

Faktöriyel Nedir?

Faktöriyel, genel anlamı itibari ile Gama Fonksiyonu’nun tam sayılarla sınırlanmış özel durumu olarak tanımlanmaktadır. Matematiksel işlemlerde kullanılan faktöriyel, sayının hemen sağına koyulan ünlem işareti olarak belirtilmektedir. Sayı ünlem işareti ile birlikte yazıldığında o sayının faktöriyeli olarak ifade edilmektedir. Örneğin; 4! ifadesi 4 rakamının faktöriyeli anlamına gelir ve 4 faktöriyel olarak ifade edilir.

Fonksiyon

Faktöriyel fonksiyonunda yapılması gereken faktöriyeli hesaplanacak olan pozitif tam sayının kendinden önceki sayıdan başlayarak 1’e kadar çarpılmasıdır.

Faktöriyel fonksiyonuna örnek verelim;

  • 1! = 1 x 1 = 1
  • 2! = 2 x 1 = 2
  • 3! = 3 x 2 x 1 = 6
  • 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
  • 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
  • Sıfır pozitif sayısının faktöriyeli 1’e eşit olmaktadır.  (0! = 1)

Problem Çözümünde Kullanımı

Faktöriyelin problem çözümünde kullanımı ile ilgili olarak bir örnek ile devam edelim.

Örnek : Üç farklı gömlek, dört farklı pantolon ve iki farklı ayakkabıya sahip olan Ahmet’in bir gömlek, bir pantolon ve bir ayakkabıyı kaç farklı şekilde giyebileceğini bulunuz.

Çözüm : Ahmet bir gömlek, bir pantolon ve bir ayakkabıyı; 4 pantolondan yapabileceği tercih, 3 gömlekten yapabileceği tercih ve 2 ayakkabıdan yapabileceği tercihten dolayı 4! farklı şekilde giyebilir.

4! = 4 x 3 x 2 = 24 farklı şekilde giyebilir.

Faktöriyelin Kodla Çözümü

Faktöriyel, programlama dillerinde de sıkça karşılaşılan bir kavramdır. Buna göre faktöriyel, özyineli faktöriyel (kendi kendini çağıran) ya da tekrarlamalı faktöriyel (iteratif) fonksiyonlar ile hesaplanabilmektedir.

Aşağıda Java programlama dilinde yazılmış özyineli (kendi kendini çağıran) ve tekrarlamalı (iteratif) fonksiyonlara birer örnek gösterilmiştir.

Özyineli n! hesabı

   Public Function Faktoriyel_Oz(n) {
       IF n <= 1 Then
           Faktoriyel_Oz = 1
       Else
           Faktoriyel_Oz = n*Faktoriyel_Oz(n - 1)
       End IF
   End Function  

Tekrarlamalı n! hesabı

  static double faktoriyelIt(double n) {
       double f = 1;
       for (double i = n; i >= 1; --i) {
           f *= i; 
       }
       return f;
   }

Faktöriyel Kuralları

Faktöriyel hesaplaması yaparken işlemlerde kolaylık sağlayan ve problemin çözümüne ulaştıran bazı kurallar bulunmaktadır.

  • Büyük faktöriyelin kendisinden küçük olan bir faktöriyele indirgenerek yazılması mümkündür.

Örneğin; 5! sayısı 5 x 4 x 3 x 2 x 1 şeklinde yazılır. Ancak bu sayıyı 3!’e indirgememiz mümkündür.

Bunun için 5 x 4 x 3! şeklinde yazmak gerekir.

Başka bir örnek olarak 11!’i 7!’e indirgeyerek yazalım. Yine aynı şekilde 7!’e kadar olan kısım çarpım şeklinde yazılır ve çarpım 7!’de bırakılır.

11 x 10 x 9 x 8 x 7! şeklinde yazılmalıdır.

  • Büyük faktöriyel, küçük faktöriyele ait çarpanları da kapsamaktadır. Herhangi bir sayı küçük faktöriyeli tam bölüyorsa büyük faktöriyeli de tam bölebilmektedir.

Örneğin; Herhangi bir sayı 6!’i tam bölüyor ise 6!’den sonra gelen 7!’den itibaren olmak üzere tüm faktöriyeller içinde 6 çarpanını bulundurduğu için 6’ya tam bölünecektir.

  • 5!’den itibaren tüm faktöriyellerin son basamağı sıfır ile bitmektedir.

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320

  • 2!’den itibaren tüm faktöriyeller çift sayı olmaktadır.

1! = 1

2! = 2 x 1 =2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

Faktöriyel Hesaplama Nasıl Yapılır?

Faktöriyel hesaplaması bahsedilen kurallara bağlı olarak kolayca yapılabilmektedir. Ancak bir faktöriyelin değerini işlem yapmak yerine faktöriyel hesaplama aracımızdan öğrenebilirsiniz. Hesaplama aracı ile faktöriyel hesaplaması yapabilmek için değeri öğrenilmek istenen faktöriyel sayısını ilgili alana yazdıktan sonra hesaplama butonuna tıklamanız yeterli olacaktır.

Faktöriyel Hesaplama İle İlgili Örnekler

Örnek 1 : 7! . 6! / 8! . 3! ifadesinin eşitini bulunur.

Çözüm:   7! . 6! / 8! . 3! ifadesinde bulunan faktöriyeller kendilerinden daha küçük faktöriyellere indirgenmelidir.

7! . 6 . 5 . 4 . 3! / 8 . 7! . 3! olarak düzenlenen ifadede gerekli sadeleştirmeler yapılır.

6. 5 . 4 / 8 şekline dönüşen ifadede işlemlerin yapılması ile sonuç 120 / 8 = 15 olarak bulunur.

Örnek 2 : Bir banka oturacak olan Ahmet, Burak, Cenk ve Ali banka kaç farklı şekilde oturabilir?

Çözüm: Ahmet, Burak, Cenk ve Ali banka toplamda 4 kişi oldukları için 4! farklı şekilde oturabilir.

Örnek 3 : (2n+2)! / (2n-1)!2n ifadesinin çözümünü bulunuz.

Çözüm:  =  (2n+2)! / (2n-1)!2n

= (2n-1)!2n(2n+1)(2n+2) / (2n-1)!2n daha sonra gerekli sadeleştirmeler yapılır.

= (2n+1)(2n+2) sonucu düzenlenrek 2(n+1)(2n+1) çözümüne ulaşılır.

Örnek 4 : (n+1)! / n! = 3-n ise denklem çözümünde n değeri kaç olur?

Çözüm: (n+1)! ifadesi (n+1)n! olarak yazılabilir.

(n+1)n! / n! = 3-n şekline dönüşen ifade de gerekli sadeleştirmeler yapılır.

n+1 = 3-n eşitiğinin çözümünden n değeri 1 olarak bulunur.

Örnek 5 : 2 x 7! = (m-2)! / 1+2+3+…+8 eşitiğinde m değeri kaç olarak bulunur?

Çözüm: 1’den 8′ kadar olan sayıların toplamı (1+2+3+4+5+6+7+8) 36 yapmaktadır.

2 x 36 x 7! = (m-2)!

72 x 7! = (m-2)!

9 x 8 x 7! = (m-2)! (72 x 7! ifadesinde 72’nin çarpanlarına ayrılması ile 9 x 8 x 7! olarak yazılmıştır.)

9! = (m-2)!  eşitliğinde 9 ile m-2 eşit olmaktadır. (9 x 8 x 7! ifadesi 9!’e eşit olmaktadır)

Buradan sonuçla m değeri 11 olarak bulunmaktadır.

Örnek 6 : n bir doğal sayı olmak üzere, n! , (n+1)!, (n+2)! , n!+1 ve n!+2 ifadelerinden hangileri her zaman çift sayı olur?

Çözüm:

  • n! ifadesi her zaman çift olmamaktadır. n için 1 değeri verildiğinde sonuç 1 yani tek sayı olmaktadır.
  • (n+1)! ifadesi her zaman çift olmamaktadır. n için 0 değeri verildiğinde sonuç 1 olur ve tek sayıdır.
  • (n+2)! ifadesi her zaman çift olmaktadır. n için verilen herhangi bir değer ile sonuç çift olarak bulunur.
  • n!+1 ifadesi her zaman çift olmamaktadır. n için 2 değeri verildiğinde 2!+1 ile sonuç 3 olarak bulunur.
  • n!+2 ifadesi her zaman çift olmamaktadır. n için 1 değeri verildiğinde 1!+2 ile sonuç 3 olarak bulunur.
Faktöriyel Hesaplama!