Geometrik Ortalama Hesaplama | Sen iste o hesaplasın!

Geometrik Ortalama Hesaplama

Kaç Değer Hesaplanacak? :

Aritmetik ortalamanın ardından en çok kullanılan ortalama türlerinden biri olan geometrik ortalama, çarpma ve kök alma işlemine dayalı bir matematik işlemidir. Geometrik ortalama hesaplama sırasında nelere dikkat edilmelidir, geometrik ortalama formülü nedir, geometrik ortalama nerelerde kullanılır, ne işe yarar gibi konu ile ilgili birçok soruya bu makalede yanıt bulut soru çözümlerinizi daha kolay yapabileceksiniz.

Geometrik Ortalama Nedir?

Geometrik ortalama, çarpma işlemi ve kök alma üzerine dayalı bir ortalama alma metodudur. Geometrik ortalamada her bir birim değerin, diğer birim değerler ile çarpımının, birim sayısı n olduğu durumda, n’inci dereceden kökünün alınması sonucunda ortaya çıkan neticeye denir.

Geometrik Ortalama Formülü Nedir?

Eleman sayısının n olduğunu kabul ettiğimiz bir durumda, geometrik ortalama hesaplama için şu formül kullanılabilir:

n√ x1 . x2 . x3 … xn
Yani daha basit bir anlatımla bütün birimler birbirleri ile çarpılır ve n’inci dereceden kök alınır.

Formülün diğer bir ifade edilişi şu şekilde olmaktadır:

(x1 . x2 . x3 … xn)1/n

Geometrik Ortalama Hesaplama İşlemi Nasıl Yapılır?

Geometrik ortalama hesaplamak için yukarıdaki formülleri uygulamak gereklidir. Formülü açık bir şekilde anlatmak gerekirse aşağıdaki adımları takip etmek geometrik ortalama hesaplama işlemini yapmak için yeterli olacaktır:

İlk olarak eldeki bütün veriler teker teker çarpılır, çarpımdan elde edilen sonuca A adı verelim.

Daha sonra toplam veri sayısına bakılır. Toplam veri sayısına da B diyelim. Son olarak A’nın B dereceden kökü alınır ve işlem tamamlanır.

Örnek: 8,10 ve 35 sayılarından oluşan veri sınıfının geometrik ortalama hesabı nasıl yapılır?

Çözüm: Formülümüz: n√ x1 . x2 . x3 … xn şeklinde ya da  (x1 . x2 . x3 … xn)1/n

Şeklinde olabilir. İkisi de aynı yola çıkacağı için istediğinizi tercih edebilirsiniz.

İşlemleri uygulamaya geçersek:

İlk olarak eldeki tüm verileri birbirleri ile çarpmamız gerekecektir.

Bu durumda;

8 x 10 x 35 işlemini yapıyoruz ve 2800 sonucuna ulaşıyoruz. Daha sonra toplam veri sayısı 3 olduğu için, 2800’ün üçüncü dereceden kökünü bularak geometrik hesaplama işlemini tamamlıyoruz.

Örnek: 55,10,1 ve 6 sayılarından oluşan veri sınıfının geometrik ortalamasını hesaplayın.

Çözüm: n√ x1 . x2 . x3 … xn şeklinde ya da  (x1 . x2 . x3 … xn)1/n şeklindeki iki formülden birini seçerek işlem yapabiliyoruz.

Bu durumda yine bütün verileri birbirleri ile çarparak işleme başlayacağız.

55 x 10 x 6 x 1 işlemi neticesinde 3300’e ulaşmaktayız. Toplam veri sayımız, dört adet veriye sahip olduğumuz için 4’tür. Bu durumda final adımı olarak 3300’ün dördüncü dereceden kökünü almamız gerekecektir. Bunu yapmak için 3300’ün karekökünü iki kere alarak işlem kolaylığı da sağlayabilirsiniz.

Kök alma işlemi neticesinde 3300’ün dördüncü dereceden kökünün yaklaşık olarak 7,58’e eşit olduğunu ve bu dört verinin geometrik ortalamasının bu sayıya denk düştüğünü anlıyoruz.

Geometrik Ortalama Aritmetik Ortalamaya Eşitse

Ortada a ve b şeklinde iki sayı varsa ve bu iki sayının aritmetik ortalaması ile geometrik ortalamasının birbirine eşit olduğu söyleniyor ise ortaya şöyle bir durum çıkmaktadır;

A ile b sayılarının farkı da bu farkın karesi de sıfıra eşit olur.

Geometrik Ortalama Nerelerde Kullanılır?

Geometrik ortalama istatistik bazlı araştırmaların bazılarında gözlem sonuçları arasındaki oransal, ya da diğer bir deyişle nispi, farkların mutlak farklardan daha çok önem arz ettiği yerlerde kullanılan bir hesaplama çeşididir. Başka bir deyiş ile her bir gözlem sonucu, kendinden bir önceki gözlem sonucuna bağımlı bir biçimde değişim gösteriyor ise ve bu değişimin hızının saptanması isteniyor ise geometrik ortalamadan faydalanmak ve sağlıklı sonuçlar elde etmek mümkün olmaktadır.

Öte yandan aritmetik ortalama ile, yani eldeki bütün değerlerin toplanıp değer sayısına bölünmesi işlemi ile, birbirinden ayrı şekilde oluşum gösteren değerlerin ortalaması alınabilir fakat birbirine bağımlı bir biçimde artış ya da azalış gösteren değerlerin ortalaması, aritmetik ortalama ile değil de geometrik ortalama hesaplama ile alınabilir.

Mesela, üç senelik bir yatırım için, ilk yılda yüzde 10 oranında, ikinci yılda yüzde 50 oranında ve üçüncü yılda ise yüzde 30 oranında gelir elde edildiğini düşünelim. Bu halde, ortalama gelir oranını bulmak için aritmetik ortalama hesaplama yapmamız gerekecektir. Yani yüzde bazında üç ayın değerlerini toplayıp üçe bölmemiz gerekir, bunu yaptığımızda ise sonucun yüzde 30 olduğunu görüyoruz.

Fakat, öteki taraftan ilk yatırım tutarının 100 Türk Lirası olduğunu varsaydığımız durumda, paramızın toplam tutarını hesaplamak için geometrik ortalamayı kullanmamız gerekecektir.

Yani, yukarıdaki gelir artışı oranlarını kullandığımız zaman, birinci aydaki yüzde 1’lik artış ile birlikte 110 TL, ikinci ay ile birlikte 165 TL, üçüncü ay ile birlikte 214,50 TL toplam tutar elde edilmiş olacaktır. Artış önceki aylara bağımlı olduğu için toplam tutarı hesaplarken çarpa çarpa ilerledik.

Bunun ardından geometrik ortalama hesaplama için şu işlemi yapabiliriz;

(1,1+1,5+1,3) işleminden gelecek sonucun küp kökünü alırız. Küp kökünü yani üçüncü dereceden kökünü almamızın sebebi ortada üç tane değer olmasıdır. Bu işlemi yaptığımızda da 0,2896’ya ulaşmaktayız.

Aritmetik Ortalama Nedir?

Aritmetik ortalama, bir veri grubundaki tüm verilerin toplamının alınmasının ardından bu toplamın toplam veri sayısına bölünmesi ile elde edilen sonuçtur.

  • Aritmetik ortalama A / B formülü ile bulunabilir.
  • Formüldeki A harfi ile bütün verilerin toplamı, B harfi ile de toplam veri sayısı temsil edilmektedir.
  • Aritmetik ortalama günlük hayatta da matematik işlemlerinde de en çok kullanılan ortalama alma çeşididir.

Örneğin, bir ders için not hesaplaması yapmak için aritmetik ortalama hesaplama yapmak durumundayız.

Örnek: Bir öğrenci, Türkçe dersinden girdiği sınavlar neticesinde birinci sınavdan 80, ikinci sınavdan 70 ve üçüncü sınavdan 93 almıştır. Buna göre bu öğrencinin Türkçe dersindeki sınavlardan aldığı puanların aritmetik ortalaması kaç eder?

Çözüm: İşlemi yapabilmek için önce tüm değerleri toplamamız gerekir. Bu durumda 70+93+80 işleminden 243 sayısını elde ediyoruz. Daha sonra bu sayıyı toplam veri sayısı olan 3’e böldüğümüzde de aritmetik ortalama sonucuna ulaşıyoruz. Gerekli bölme işlemi yapıldığında öğrencinin Türkçe dersinden girdiği sınavların not ortalamasının 81 olduğu bilgisine ulaşıyoruz.

Örnek: Karabük şehrinde ölçülen hava sıcaklıkları şu şekildedir:

Pazartesi günü 21 derece,

Salı günü 20 derece,

Çarşamba günü 17 derece,

Perşembe günü 22 derece,

Cuma günü 24 derece,

Cumartesi günü 25 derece,

Pazar günü 25 derece.

Bu durumda Karabük şehrine ait bir haftalık hava sıcaklığının aritmetik ortalaması nedir?

Çözüm: Aritmetik ortalamayı hesaplamak için ilk olarak bütün verileri topluyoruz. Tüm hava sıcaklığı değerlerini topladığımızda 154 sayısını elde etmekteyiz. Final adımı olarak 154’ü toplam veri sayısı olan 7’ye bölerek haftalık ortalama sıcaklığı buluyor ve 22 sonucunu elde ediyoruz.

Harmonik Ortalama Nedir?

Birim değer olarak ifade ettiğimizi varsaydığımız n’nin n tane sayının çarpma işlemine göre tersinin, toplam sonucuna bölümü neticesinde elde edilen sonuca bu sayıların harmonik ortalaması denmektedir.

Diğer bir deyişle, harmonik ortalama birim değerlerin terslerinin, aritmetik ortalamasının tersine denk gelmektedir.

Birim değerleri x1, x2 gibi gösterdiğimiz durumda harmonik ortalama aşağıda yer aldığı gibi yazılabilir:

H= n /( 1/ X1 + 1/X2 + 1/X3 + 1/X4 +….1/Xn)

Harmonik ortalama hesaplama işlemi daha çok ekonomik olaylarda, bir birim bazında belirlenen ortalama miktara ya da bir mamülün bir biriminin üretimi için sarf edilen ortalama değere ihtiyaç duyulduğunda kullanılır, kısaltma ifadesi olarak H harfi temsil değeri taşır.

Geometrik Ortalama Hesaplama!