Hacim Hesaplama

Her cisim uzayda bir yer kaplamaktadır. Kullandığımız televizyon, otomobil, dolap gibi eşyaların her birinin uzay boşluğunda kapladığı bir yer vardır. Sahip olduğumuz eşyalar gibi her cismin kapladığı yer ”hacim”le ifade edilmektedir. Hacmin SI birim sisteminde ölçü birimi m3 olarak belirtilmiştir. Hacmin sembolü V ile gösterilmektedir. Hacim, her cisimde bulunan ortak özelliktir. Ayrıca cisimlerin sahip olduğu […] Daha Fazla Bilgi

Hesaplanacak şekil:

Her cisim uzayda bir yer kaplamaktadır. Kullandığımız televizyon, otomobil, dolap gibi eşyaların her birinin uzay boşluğunda kapladığı bir yer vardır. Sahip olduğumuz eşyalar gibi her cismin kapladığı yer ”hacim”le ifade edilmektedir. Hacmin SI birim sisteminde ölçü birimi m3 olarak belirtilmiştir. Hacmin sembolü V ile gösterilmektedir. Hacim, her cisimde bulunan ortak özelliktir. Ayrıca cisimlerin sahip olduğu hacimleri ölçmemiz mümkündür.

Her madde uzayda kapladığı yer yani hacmi bakımından farklıdır. Yani iki ayrı madde uzayda aynı yeri işgal edemez. Örneğin boş bardakta bulunan hava, bardağa koyulan suyla birlikte bardağı terk eder. Hacim her maddenin 3 hali için farklılık göstermektedir. Katı cisimlerin şekilleri sabit olduğundan dolayı sahip oldukları hacimlerinin şekilleri ve hacim miktarları bellidir. Sıvı cisimlerin de hacimleri bellidir ancak şekilleri belirsizdir. Sıvı maddelerin belli bir hacimleri olmasına rağmen belirli bir şekilleri yoktur, konuldukları kabın şeklini alırlar. Sıvı maddelerin hacimleri litre ile belirtilmektedir. Gaz halinde bulunan maddeler ise ne belirgin bir hacme ne de belirgin bir şekle sahiptir. Gazlar bulundukları kaba göre şekil alırlar ve hacimleri de yine bulundukları kaba göre değişir.

Günlük yaşamımızda da kullandığımız her şeklin belli bir hacmi bulunmaktadır. Aldığımız bir sütün ya da evimize sipariş verdiğimiz bir damacana suyun kaç litre olduğunu, doğalgazın metreküp fiyatının ne kadar olduğunu hacim hesaplaması işlemleriyle elde ediyoruz. Hacim hesaplamaları küre, silindir gibi geometrik şekillerin hacim hesaplaması formülleri ile hesaplanıyor. Yazının devamında da geometrik şekillerin hacimlerinin hangi formüller yardımıyla bulunacağından bahsedeceğiz.

Kürenin Hacim Hesaplaması

küre

Tek bir noktadan eşit mesafede bulunan milyonlarca noktanın oluşturduğu geometrik şekle küre denilmektedir. Bahsedilen nokta kürenin merkezi olmaktadır. Eşit mesafede olan diğer noktalara olan uzaklık ise kürenin yarıçapını oluşturur. Kürenin merkezinden geçen iki nokta arasına çizilen doğru kürenin çapını belirtir. Küredeki iki nokta arasında bulunan doğru kürenin kirişi anlamına gelmektedir. Kürenin üzerinde çizilebilecek çemberlerden çapı kürenin çapıyla aynı olan çember büyük çember ya da kürenin çevrel çemberi demektir. Çevrel çember küreyi iki eş parçaya ayırır ve ayrılan bu iki eş parça yarı küreyi oluşturmaktadır. Kürede diğer geometrik şekillerde olduğu gibi ayrıt ve köşe bulunmamaktadır. Küre şeklindeki cisimlere örnek verecek olursak; futbol topu, bilye gibi eşyaları örnek verebiliriz.

  • Kürenin hacim hesaplaması;   \frac{4}{3} \pi r^3  formülü kullanılarak yapılmaktadır. r, yarıçapı belirtmektedir.

Örnek 1: Taban alanı 81 cm² olan bir küp içine yerleştirilen kürenin hacmi kaç cm³ olur?

Çözüm 1: Taban alanı a² formülünden bulunan bir küpün tabanının alanı 81 cm² küpün bir kenarı (a) 9 cm olur. Küpün bir kenarı içine yerleştirilen kürenin çapına eşit olacağından kürenin çapı 9 cm ve yarıçapı 4,5 cm olarak bulunur. Kürenin hacim hesaplaması formülünden, kürenin hacmi 4/3 . π . 4,5 = 6 cm³ olarak bulunur.

  • küre dilimiKüreninden alına bir dilimin hacmi; kürenin hacmi x  α/360 formülüyle bulunur. α dilimi gören merkez açının derecesidir.

Örnek 2 : 100 derecelik merkez açısının oluşturduğu 3 cm yarıçaplı küre diliminin hacmi kaç cm3 olur?

Çözüm 2: Küre diliminin hacmi  \frac{4}{3} \pi r^3 .  α/360 formülünden, veriler yerine yazıldığında 10  cm³ olarak bulunur.

  • küre kapağıKüre kapağının hacmi; 2πrh formülüyle bulunur. h, yüksekliği ifade eder.

Örnek 3: Bir küreden alınan, 20 cm çapında ve 12 cm yüksekliğinde bir küre kapağının hacmi kaç cm³?

Çözüm 3: Kürenin çapı 20 cm ise yarıçapı (r) 10 cm olur. Yüksekliği (h) 12 cm ise küre kapağının hacmi; 2.10.12.π=240π olarak bulunur.

  • küre parçasıKüre parçasının hacminin bulunmasında kullanılacak formül, 2/3.π.R².h şeklindedir. R kürenin çapını ifade etmektedir.

Örnek 4: Merkezden bir noktaya çizilen uzaklığı 6 cm olan ve yüksekliği 10 cm olan bir küre parçasının kapladığı hacmi bulunuz.

Çözüm 4: Merkezden bir noktaya olan uzaklığı yani yarıçapı 6 cm ise çapı (R) 12 cm olan küre parçasının yüksekliği (h) 10 cm ise küre parçasının hacmi;

2/3.π.144.10= 960 cm³ olarak bulunur.

Silindirin Hacim Hesaplaması

silindir

Silindir bir dikdörtgenin kendi çevresinde döndürülmesiyle elde edilen geometrik şekle denir. Silindirin alt ve üst kısmı daire şeklindedir. Doğrulardan oluşan silindirin yüzeyini oluşturan doğrulara ana doğru denilmektedir. Taban eğrisine göre silindire farklı isimler verilebilir. Taban eğrisi daireden oluşuyorsa dairevi silindir, taban eğrisi elipsten oluşuyorsa eliptik silindir şeklinde adlandırılır. Dairevi silindirde ana doğru tabana dik olarak inmiyorsa buna eğik silindir adı verilir. Silindirik yüzeyde taban eğrisinin mutlaka kapalı olması gibi bir şart yoktur. Parabolik silindir, hiperbolik silindir, hiperbolik silindir şeklinde olabilmektedir.

Silindir şeklindeki kullanılan metaryallere örnek olarak otomobilde kullanılan metaryalleri, ısınmak isin kullanılan soba boruları gösterilebilir.

Silindirin hacim hesaplaması π.r2. h formülü ile bulunmaktadır.

Örnek 1: Taban çevresi 81π cm² olan ve 10 cm yüksekliğe sahip olan bir silindirin hacmi kaç cm³ olur?

Çözüm 1: Taban çevresi 81 cm ise π.r2 = 81π olacağından r2=81 ve r=9 şeklinde bulunur. Silindir hacim formülünde verilere yerine yazılarak π. 64. 10 = 640 cm³ olarak silindirin hacmi elde edilir.

Paralelkenar Prizmanın Hacim Hesaplaması

paralelkenar prizma

Paralelkenar, karşılıklı kenarlarının uzunlukları aynı olan ve iç açılarının toplamı 360 derece olan dörtgendir. Paralelkenardaki kenarların karelerinin toplamının iki katı, köşegenlerinin karelerinin toplamına eşit olmaktadır. Paralelkenardaki köşegenlerin kesişim noktası birbirlerinin orta noktasıdır. Paralelkenarda karşı karşıya olan iki açının derecesi aynıdır. Ayrıca ardışık iki açının ölçüleri toplamı 180 dereceye eşit olmaktadır.

Bu şekilde özellikleri barındıran paralelkenar tabanlardan oluşan prizmaya paralelkenar prizması denilmektedir. Paralelkenar prizmasının hacmi;  T.A. (taban alanı) x h (yükseklik) formülü ile bulunur.

Örnek 1: Bir paralelkenar prizmanının hacmi 380 m³, yüksekliği 10 cm, bir kenarı 16 cm ise diğer kenar uzunluğu kaç cm’dir?

Çözüm 1: V= T.A. x h formülünden faydalanalım ve bulunması istenen kenara b diyelim,

380= 16.b.10

380= 160.b eşitliğinden b kenarı 2 cm olarak bulunur.

Dikdörtgenler Prizmasının Hacim Hesaplaması

dikdörtgenler prizması

Altı dikdörtgenin birleştirilmesi ile meydana gelen şekle dikdörtgenler prizması denilmektedir. Dikdörtgenler prizmasının özellikler şu şekilde sıralanabilir;

  1. Dikdörtgenler prizmasında 6 adet yüz, 12 adet ayrıt, 8 adet köşe bulunmaktadır.
  2. Dikdörtgenler prizmasında karşı karşıya olan yüzler birbirine paraleldir ve bu yüzlerin ölçüleri eşittir.
  3. Dikdörtgenler prizmasındaki karşılıklı 4 ayrıtı birbirine paralel ve eşittir.
  4. Prizmanın bir köşesinden çıkan ayrıta prizmanın boyutu denir. Prizmada bulunan ayrıtlar; prizmanın boyu, prizmanın eni ve prizmanın yüksekliğidir.
  5. Prizmanın bir yüzünde karşı karşıya bulunan iki köşenin birleştirilmesini sağlayan doğru, yüz köşegeni adını almaktadır.
  6. Prizmanın ayn yüzüne ait olmayan iki köşe birleştiriliyor ise bu iki köşeyi birleştiren doğru cisim köşegeni adını almaktadır.

Dikdörtgenler prizmasının kapladığı hacim, T.A. (taban alanı) x h (yükseklik) formülüyle bulunur.

Örnek 1: Boyutları 20 metre, 15 metre ve 5 metre olan bir kutu, kimyasal gazla doldurulacaktır. Kutunun doldurulabilmek için kaç m³ kimyasal gaza ihtiyaç vardır?

Çözüm 1: Hacmi, V=20m . 15m . 5m = 1500 m³ olan kutunun doldurulması için 1500 m³ kimyasal gaza ihtiyaç vardır.

Koninin Hacim Hesaplaması

koni

Koni, bir dairenin her noktasının bir noktayla birleştirilmesiyle oluşan geometrik şekildir. Konilerin tabanları farklı şekillerde olabilmektedir. Tabanlarının şekillerine göre koniler; dairesel koni, eliptik koni olabilirler. Dairesel dik bir konide, koninin taban merkezinin tepe noktasına birleştirilmesiyle oluşan doğru, koninin yüksekliği ya da koninin ekseni olmaktadır. Koninin taban çevresinden koninin tepe noktasına doğru uzatılan her doğru parçası, koninin ana doğrusu ya da apotemi olarak adlandırılmaktadır.

Koninin hacmi, 1/3.π.r2. h formülü yardımıyla hesaplanmaktadır.

Örnek 1: Tabanında bulunan dairenin yarıçapı 8 cm ve yüksekliği 6 cm olan bir koninin hacmi kaç cm³’tür? ( π=3 alınacaktır.)

Çözüm 1 : 1/3.3.64.6 = 384 cm³ olarak koninin hacmini hesaplıyoruz.

kesik koniKesik konin hacmi,  [ (h. π/3 ] .( r1² +r2² + r1.r2) formülüyle hesaplanmaktadır.

Örnek 2: Bir kesik koninin alt tabanının yarıçapı 10 cm, üst tabanının yarıçapı 5 cm ve iki taban arasında kalan uzaklık 6 cm olduğuna göre hacmi kaç cm³’tür?

Çözüm 2: [6. π/3 ] . ( 10² + 5² + 10.5)  şeklinde verilenleri formülde yazarak işlem sonucunda 350π cm³ olarak kesik koninin hacmini buluyoruz.

 

Piramidin Hacim Hesaplaması

piramit

Genellikle üçgen bir tabandan tepe noktasına uzatılan doğruların birleşimiyle oluşan geometrik şekle piramit denilmektedir. Piramitin tabanı kare ise, kare piramit adı verilmektedir. Kare piramidin haricinde; eşkenar üçgen piramit, düzgün piramit, düzgün dörtyüzlü piramit, düzgün sekizyüzlü piramit, düzgün altıgen piramit, düzgün beşgen piramit şekilleri de bulunmaktadır.

Piramidin hacmi, 1/3 . T.A. (Taban Alanı) . h (yükseklik)

Kare piramidin hacmi, 1/3 . [(a²√3)/3] . h

Düzgün dörtgen piramidin hacmi, (a³√2)/12

Düzgün sekizyüzlü piramidin hacmi, 8 [(a²√3)/3]

Düzgün altıyüzlü piramidin hacmi, 3 [(a²√3)/2]

Düzgün beşgen piramidin hacmi, (T.A. x h)/3 formülü kullanılarak hacim hesaplama yapılır.

Örnek 1: Taban alanı 56 cm² olan ve 12 cm yüksekliğe sahip olan piramidin hacmi kaç cm³’tür?

Çözüm 2: (T.A. x h)/3 formülünü kullandığımızda (56 x 12 )/3 = 224 cm³ olarak piramidin hacmini buluyoruz.

Örnek 2: Bir kenarı 12 cm olan düzgün dörtyzülünün hacmi kaç cm³’tür?

Çözüm 2: Bir kenarı 12 cm ise düzgün dörtyüzlünün hacmi, (12³√2)/12 = 144√2 cm³ olarak bulunur.

Hacim Hesaplama!