İki Sayı Arasındaki Sayıların Toplamı | Sen iste o hesaplasın!

İki Sayı Arasındaki Sayıların Toplamı

Birinci Sayı :
İkinci Sayı :
Hangi Sayılar Toplanacak?

Ardışık sayılar, matematiğin en temel konularından biri olmakla birlikte birçok hesaplama türüne meze olmuştur. İki sayı arasındaki sayıların toplamı konusunda da hesaplama yaparken ardışık sayılar mantığından faydalanmak mümkündür. Ardışık sayılar karşımıza zaman zaman ardışık çift sayılar ya da ardışık tek sayılar olarak da çıkabilmektedir.

Ardışık Sayılar Nelerdir?

Düzenli bir şekilde artış gösteren sayılar, ardışık sayılar adıyla tanımlanır. Örnek vermek gerekirse 1’den 10’a kadar olan ardışık sayıları sıralamamız istendiği zaman;

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Şeklinde bir sıralama yaparız.

Öte yandan, 1’den 10’a kadar olan ardışık tek doğal sayılar bizden istenseydi bu sefer de;

1-3-5-7-9 şeklinde sıralama yapmamız gerekecekti.

1’den 10’a kadar ardışık çift doğal sayıları bulmak için ise;

2-4-6-8-10 şeklinde bir sıralamaya sahip olacaktık.

İki Doğal Sayı Arasındaki Ardışık Sayı Adedini Hesaplama

İki doğal sayı arasında yer alan bütün ardışık sayıların toplam adedini bulmak için sırasıyla şu işlemlerin yapılması gerekmektedir;

Büyük sayıdan küçük sayı çıkarılmalıdır.

Son olarak bulunan sayıdan da bir çıkarılmalıdır.

Formül: A – B – 1

A = Büyük Sayı, B = Küçük Sayı

Örnek: 37 ile 123 sayıları arasında kaç doğal sayı olduğunu hesaplayın.

Çözüm: A – B – 1 şeklindeki formülümüze sırası ile büyük sayı ve küçük sayımızı yerleştirip gerekli işlemi yaptığımız zaman 85 sayısına ulaşıyoruz. Bu da demek oluyor ki 37 ile 123 sayıları arasında 85 adet ardışık doğal sayı bulunmaktadır.

Not düşmek gerekir ise 37 ile 123 arasında dendiğine göre, bu 85 ardışık doğal sayının arasında 37 ile 123’ün yer alması mümkün olmamaktadır.

Bir Doğal Sayıdan Diğer Doğal Sayıya Kadar Ardışık Sayı Adedini Hesaplama

Hesaplama talimatında bir doğal sayıdan diğer başka bir doğal sayıya kadar giden ardışık doğal sayıların adedi sorulduğu zaman sırası ile şu işlemler yapılmalı ve aşağıda yer alan şu formül uygulanmalıdır:

İlk olarak büyük sayı ile küçük sayının farklı çıkarma işlemi yardımı ile bulunmalıdır.

Daha sonra çıkarma işleminden elde edilen sonuca 1 ilave edilmelidir.

Formül: A – B + 1

A = Büyük sayı, B= Küçük sayı

Örnek: 96’dan 415’e kadar olan kaç tane ardışık doğal sayı bulunmaktadır?

Çözüm: A – B + 1 şeklindeki formülümüze büyük sayı ve küçük sayıyı sırasıyla yerleştirip formüldeki çıkarma ve toplama işlemlerini yaptığımız zaman 320 sonucuna ulaşmaktayız. Bu da demektir ki 96’dan 415’e kadar 320 adet ardışık doğal sayı bulunmaktadır. Bu doğal sayılar arasında 96 ile 425’in de dahil olduğunu söylemeyi unutmayalım.

İki Çift ya da Tek Sayı Arasında Yer Alan Ardışık Sayıların Adedini Hesaplama

Çift ya da tek karakterli, arasında birtakım ardışık sayıları barındıran iki sayı arasındaki doğal sayıların adedini bulmak için aşağıdaki adımlar uygulanmalı ve formül takip edilmelidir:

İlk olarak büyük sayı ve küçük sayı arasındaki farkı çıkarma işlemi yardımı ile hesap ediyoruz.

Daha sonra çıkarma işleminden elde edilen sonucu ikiye bölüyoruz.

Bölme işleminden çıkan sonuçtan bir eksiltiyoruz.

Formül: (A – B)/2  -1

Örnek: 24 ve 82 şeklindeki iki çift sayının arasında kaç adet ardışık çift doğal sayı bulunmaktadır?

Çözüm: (A – B)/2  -1 şeklindeki formülümüze büyük sayı ve küçük sayıyı uygun bir şekilde yerleştiriyoruz. Bu durumda 82’den 24’ü çıkardığımız zaman 58’e ulaşmaktayız. Daha sonra 58’i ikiye bölmemiz gerekmekte. Bölme işlemi neticesinde 29 sayısını elde ediyoruz. Sonuca ulaşmak için ise son adım olarak 29’dan 1’i çıkarmamız gerekecek. Bu işlemi yaptığımızda da 28’e ulaşıyoruz. Bu halde 24 ile 82 sayıları arasında 28 adet ardışık çift doğal sayı vardır diyebilmekteyiz.

Örnek: 100 ve 200 sayıları arasında kaç adet ardışık çift doğal sayı bulunduğunu hesaplayalım.

Çözüm: (A – B)/2  -1 şeklindeki formülümüze büyük sayı ve küçük sayıyı uygun şekilde yerleştirdikten sonra 200’den 100’ü çıkararak yine 100 sonucuna ulaşmaktayız. İkinci adım olarak 100’ü ikiye bölüyor ve 50’ye ulaşıyoruz. Final adımı olarak bölme işleminden elde edilen 50’den bir eksiltip 49 sonucunu görmekteyiz, bu da 100 ile 200 arasında toplam 49 tane ardışık çift doğal sayı olduğu anlamına gelir.

İki Sayı Arasındaki Sayıların Toplamı

İki sayı arasındaki ardışık sayıların toplamına ulaşmak için sırasıyla aşağıdaki adımlar takip edilir ve yine aşağıda yer alan formül uygulamaya konabilir:

İlk olarak en küçük sayı ile en büyük sayının toplamı alınmalıdır.

Toplama işlemi sonucunda elde edilen sayı, toplam sayı adedi ile çarpılmalıdır.

Çarpım işleminden sonra ortaya çıkan sonuç ikiye bölünmelidir.

Formül: (A + B) x C /2

A= Büyük Sayı, B= Küçük Sayı, C=İki sayı arasındaki ardışık sayı adedi

Örnek: 39’dan 58’e kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı kaç etmektedir?

Formül gereği; (A+B) x C/2

C’yi bulabilmek adına ilk olarak söz konusu ardışık sayıların toplamını bulmamız gerekecektir. Onu bulmak için de yukarıdaki konuda yer alan formülden faydalanabiliriz, o formülün A – B+1 şeklinde olduğunu hatırladıktan sonra işlemi yapalım;

58’den 39’u çıkardığımızda 19 sonucuna ulaşmaktayız. Çıkarma sonucu bulduğumuz 19’a 1 ilave ettiğimizde ise 20’yi buluyoruz. Bu da 39’dan 58’e kadar toplam 20 ardışık doğal sayının olduğu anlamına gelmektedir. Şimdi soruda bizden bu 20 sayının toplamının kaç ettiğini bulmamız istendiği için konu ile ilgili ana formülü uygulamaya alma vakti geliyor;

İlk olarak A + B’den başladığımız için büyük sayı ile küçük sayıyı topluyoruz.

58 ile 39’u topladığımız zaman 97 sayısını elde ediyoruz.

İkinci adım olarak 97’yi C ile, yani iki sayı arasındaki ardışık sayı adedi olan 20 ile çarpmamız gerekecektir. 97 ile 20’yi çarptığımızda ise 1940’a ulaşmaktayız.

Final adımı olarak 1940’ı 2’ye bölmemiz gerekecek ve bu işlemi yaptığımızda da 970 sayısını buluyoruz. Bu sonuç ile birlikte şunu demek mümkün oluyor;

39’dan 58’e kadar olan ardışık tüm doğal sayıları belirten 20 sayının toplamı 970’e eşittir.

Örnek: 51’den 93’e kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı kaça eşit olmaktadır?

Çözüm: Formülümüz; (A + B) X C/2 şeklinde olduğu için ilk olarak yine C’yi bularak yola başlıyoruz.

C harfi, 51’den 93’e kadar olan bütün ardışık doğal sayıların adedini bizlere vermektedir. Bunu bulmak için de A – B +1 formülünden faydalanıyoruz.

Formül gereği sayıları yerine yerleştirdiğimiz zaman 93’ten 51’i çıkardığımız zaman 42’yi elde etmekteyiz. Buna bir ilave ettiğimiz zaman 43’e ulaşıyoruz. Bu durumda 51’den 93’e kadar 43 adet ardışık doğal sayı var, diyebiliriz.

Şimdi bu 43 ardışık doğal sayının toplam değerinin kaç ettiğini bulmak için yine ana formülü uygulamaya almamız gerekecek;

Bu durumda A ile B’yi yani 93’le 51’i topladığımız zaman 144’e ulaşıyoruz. Formül gereği 144’ü C ile, yani 43 ile, çarpıyoruz. Bu çarpım sonucunda 6192 sayısını elde ediyoruz. Son olarak işlemi tamamlamak adına 6192’yi ikiye bölerek 3096’yı buluyoruz.

Bu durumda 51’den 93’e kadar olan toplam 43 adet ardışık doğal sayıların hepsinin toplamı sonucunda 6192 rakamını bulduğumuzu söyleyebiliriz.

Örnek: 78’den 96’ya kadar olan bütün ardışık doğal sayıların toplamı kaç etmektedir?

Çözüm: İlk olarak 78’den 96’ya kadar kaç adet ardışık doğal sayı olduğunu, yani formüldeki C harfini bularak yola başlıyoruz.

Bunu bulmak için uygun formül şu şekildeydi: A – B + 1

Bu durumda 96’dan 78’i çıkarıp 18 sonucunu elde ediyoruz. 18 sayısı 78’den 96’ya kadar olan bütün ardışık doğal sayıların adedini temsil ediyor.

Ana formüle geçersek;

(A + B) X C/2

A ile B’yi yani 96 ile 78’i toplayarak 174’e ulaşıyoruz. Şimdi 174 sayısı ile C’yi, yani 18’i çarpmamız gerekecek. 174 ile 18’i çarptığımız zaman da 3132 rakamını bulmaktayız.

Final adımı olarak 3132’yi ikiye bölüyoruz ve bölme işlemi neticesinde 1566 buluyoruz.

Bu durumda 78’den 96’ya kadar olan ardışık bütün doğal sayıların toplamının 1566 ettiğini söyleyebiliriz.

İki Sayı Arasındaki Çift Sayıların Toplamını Hesaplama

İki sayı arasında bulunan sadece çift sayıların toplamını hesaplarken aşağıdaki formülden faydalanabiliriz:    n x (n+1)

Örneğin;

1 ile 20 arasındaki çift sayıların toplamı için;

1 ile 20 arasındaki en büyük çift sayı 18’dir. 18 yukarıdaki formül bazında 2n olarak ifade edilir.

N ise bu doğrultuda 9’a denk düşer.

9 x (9+1) işlemi neticesine 90 sonucunu elde ediyoruz.

Diğer taraftan söz konusu sayı 1’den değil de başka bir sayıdan başlıyor ise bu sefer uygulamamız gereken işlem şu şekildedir:

Diyelim ki; 5 ile 25 arasındaki çift sayıların toplamı isteniyor.

Önce 1’den 25’e kadar olan bütün çift sayıların toplamı yukarıdaki formül ve örnek yardımı ile bulunur. Buradan çıkan sonuca a diyelim.

Daha sonra 1’den 5’e kadar olan bütün çift sayıların toplamı yine yukarıdaki formül yardımı ile bulunur. Buradan gelen sonuca da b diyelim.

Daha sonra bu ikisinin farkı alınır.

Yani;

A – B işlemi yapılır.

İki Sayı Arasındaki Tek Sayıların Toplamını Hesaplama

İki sayının arasında yer alan bütün tek sayıların toplamın bulurken uygulamaya koyacağımız formül n’in karesi şeklindedir.

Örnek: 1 ile 10 arasında yer alan bütün tek sayıların toplamını hesaplayalım.

N değeri 2k-1 formülünden gelmektedir. Bu durumda iki sayı arasındaki en büyük tek sayı olan 9’u ele aldığımızda n’in 5 olduğunu görüyoruz.

5’in karesi de 25 olduğuna göre cevabımız 25’tir.

1+3+5+7+9 işlemini yaptığımız zaman sonucun doğru olduğunu görüyoruz.

Soruda 1’in dahil edilmesini istemiyorsa en sonda 1’i çıkartabilirsiniz.

İki Sayı Arasındaki Sayıların Toplamı!