İkinci Dereceden Denklem Hesaplama | Sen iste o hesaplasın!

İkinci Dereceden Denklem Hesaplama

Denklem, iki niceliği eşitliğini göstermekte kullanılan bir bağıntıdır. Araya konulacak eşittir işareti bu bağıntıyı ifade eder. Denklemlerde eşitlik değişkenin belirli değerli için sağlanacaktır. Değişkenlerin her bir değeri için geçerli olan eşitliklere ise özdeşlik adı verilir. Örneğin, (x+y)²= x²+2xy+y² bir özdeşlik iken, x²-3x+2=0 bir denklemdir. Her bir denklem değişkeninin sahip olduğu değişkenlerden en büyük kuvvete sahip […] Daha Fazla Bilgi

Denklem, iki niceliği eşitliğini göstermekte kullanılan bir bağıntıdır. Araya konulacak eşittir işareti bu bağıntıyı ifade eder. Denklemlerde eşitlik değişkenin belirli değerli için sağlanacaktır. Değişkenlerin her bir değeri için geçerli olan eşitliklere ise özdeşlik adı verilir. Örneğin, (x+y)²= x²+2xy+y² bir özdeşlik iken, x²-3x+2=0 bir denklemdir. Her bir denklem değişkeninin sahip olduğu değişkenlerden en büyük kuvvete sahip olan değişken bu denklemin derecesini ifade eder. Her bir terimin derecesi aynı olduğu zamanlarda ise bu denklemler homojen denklem adını alır.

Denklemler çeşitli şekillerde sınıflandırılmaktadır. Doğrusal denklemlere birinci dereceden denklemler de denir. Karesel denklemler ise aynı zamanda ikinci dereceden denklemler adını alır ve bugün de bu konuyu ele alarak İkinci Dereceden Denklem Hesaplama anlatımını yapacağız. Bunun haricinde kübik denklem adı verilen üçüncü dereceden denklemlerde yer almaktadır. Derece sınıflandırması giderek yükselmektedir. Dereceler üzerinden çeşitlere sahip olan denklemlerin bundan farklı çeşitlere de sahip olduğu bilinmektedir. Örneğin, diferansiyel denklemler, içinde türev operatörü barındıran denklemlerdir. Parametrik denklemler ise her bir değişkenin belirli bir parametreye göre değişkenler gösterdiği denklemlere denir. Denklem çeşitleri oldukça fazladır ve kimi özel denklemler, bu denklemi bulan kişilerin adı verilerek onurlandırılmıştır. Bugün İkinci Dereceden denklemlerden bahsedecek ve beraberinde ikinci dereceden denklem hesaplama işlemleri konusunda neler yapılabileceğine bir bakacağız.

İkinci Dereceden Denklem Tanımı

İkinci dereceden denklemler, derecesi iki olan polinomlar tarafından oluşturulmuş olan denklemlerdir. Bu denklem genel olarak aşağıdaki formda görüldüğü gibidir.

ax²+bx+c = 0

Bu tür bir ikinci dereceden denklem tanımında elbette a, b ve c sayıları reel sayı olacaktır ve a sıfırdan farklı bir sayı olmak durumundadır.  Denklemi sağlayacak olan x reel sayıları, denklemin köklerini oluştururken, tüm köklerin yer aldığı kümeye de denklemin çözüm kümesi denecektir. Denklemin çözüm kümesi aynı zamanda doğruluk kümesi olarak da adlandırılır. Çözüm kümesini yani doğruluk kümesini bulmak için yapılan işlemlere de denklem çözme denir. Denklem çözme işlemlerinde yapılan şey de hesaplama işlemleridir. Yani ikinci dereceden bir denkleme çözerken İkinci Dereceden Denklem Hesaplama işlemlerini yaparız.

İkinci Dereceden Denklemler Nasıl Çözülür?

İkinci dereceden denklemleri çözmenin çeşitli yolları yer almaktadır. Şimdi ikinci dereceden denklem hesaplama işlemlerini gerçekleştirebilmek adına bu yollara göz atacağız. İkinci dereceden denklem hesaplama işlemleri için bilinen en kolay yol denklemi çarpanlara ayırmaktan geçmektedir. Bu tür bir yolu kullanmak için denklemin çözüm kümesinin kolay bir şekilde görülebiliyor olması gerekmektedir.

Çarpanlara Ayırarak Denklem Çözme Yöntemi

İkinci dereceden denklem hesaplama işlemlerini yaparken çarpanlara ayırma yöntemi kullanılıyorsa, her bir çarpan sıfıra eşitlenmeli ve bu şekilde bu denkleme ait kökler bulunmalıdır.

Bu tür bir işlemi anlatabilmek adına birkaç örnekten bahsetmemiz en sağlıklısı olacaktır. x²-6x+9 şeklinde bir denkleme sahip olduğumuzu varsayalım. Bu durumda bu denklemin köklerini oluşturan sayıların çarpımları 9 ve toplamları -6’dır. Bu işlemi kolay bir şekilde yapabiliriz. Çünkü daha önce çözmüş olduğumuz ikinci dereceden denklem hesaplama işlemleri sayesinde çözüm gözümüzün önünde yer alır. Elbette bu tür işlemleri yapabilmek ve bu tür işlemlerin göze aşina gelebilmesi için bu konu hakkında bir süre soru çözmek gerekmektedir.

x²-6x+9 denklemini şu şekilde çarpanlarına ayırırız.

x          -3

x          -3

Böyle bir işlemin ardından elimizde (x-3) (x-3) şeklinde bir model oluşacaktır. Bu durumda her iki parantez içerisinde yer alan sayılar da aynı olduğundan dolayı bunlardan birini alarak denklemin kökünü bulmak için hesaplama yapabiliriz.

Yani bu durumda x-3’ü sıfıra eşitlememiz gerekiyor. Eğer, x-3 = 0 ise x = 3’tür. Bu durumda bu denklemin kökü de 3 olur.

Bir başka örnek ile bu konuyu pekiştirelim. x²-8x+12 denklemini ele alalım. Elimizde olan bu denklemi çözmek için ikinci dereceden denklem hesaplama işlemlerini gerçekleştirmemiz gerekiyor. Öyleyse yapmamız gereken şey yukarıdaki gibi bir işlemdir. Bu denklemin köklerinin çarpımları 12 iken toplamları -8’dir.

x²-8x+12

x          -6

x          -2

Böylece elimizde çarpımları 12 olan ve toplamları -8’e eşitlenen iki farklı kök olmuş olur. Çarpanlarına ayırma işlemini yaparken çaprazlama bir işlem yaparız. Bu durumda elimizde (x-6) ile (x-2)’nin bir çarpımı olacaktır. Öyleyse elimizde iki farklı kök vardır. İkinci dereceden denklem hesaplama işlemlerinde son aşamaya gelmiş bulunuyoruz.

x-6 = 0 ise, x = 6 ve x-2 = 0 ise x = 2 ‘dir. Öyleyse bu denklemin kökleri 2 ve 6’dır.

Tam Kareye Tamamlama Yöntemi

Elimizde yine ax²+bx+c = 0 şeklinde bir denklem olacaktır. Fakat bu sefer bu denklemi kolay bir şekilde çözemeyeceğiz. Çünkü yukarıda anlatmış olduğumuz çarpanlara ayırma yönteminde olduğu gibi ikinci dereceden denklemler her zaman bu kadar kolay işlemler neticesinde çözülemez. Bu gibi durumlarda bir formülden yararlanarak ikinci dereceden denklem hesaplama işlemlerini gerçekleştiririz.

Kareye tamamlama yöntemini kullanarak ikinci dereceden denklem hesaplama işlemlerini gerçekleştirmek istiyorsak bu konu ile ilgili olarak kullanabileceğimiz mantıklı bir denklem yazmamız gerekmektedir.

x²-4x=5 şeklinde bir denkleme sahip olduğumuzu düşünelim. Bu denklemi tam kare şekline dönüştürmek için çeşitli ekleme ya da çıkarma yöntemlerini kullanmamız gerekir. Bu işlemi anlatabilmek adına ekleyeceğimiz sayıyı soru işareti simgesi ile ifade edeceğiz. Bu durumda x²-4x+?=5 olmalıdır. Tam kareye tamamlamak istediğimiz için ? sayısını işleme dahil ettiğimizden dolayı bu denklemin sonucunda da ortaya bir tam kare çıkması gerekiyor. Bu sebeple de esasında izlenmesi gereken yol şu şekilde olacaktır.

x²-4x+? = (x-a)²

Öyleyse bu denklemi çözümlemeye çalıştığımız zaman karşımıza şöyle bir görüntü gelir.

x²-4x+? = x²-2ax+a²

Bu durumda x²’ler birbirleri ile eşitleneceğinden, birbirlerini götüreceklerdir. Öyleyse elimizde 4x+? = -2ax+a² şeklinde bir formül kalır. Kat sayıları aynı olan 4x ve -2ax’i bir kenara alacak ve çözümleyecek olursak, 4x=-2ax olacağından a’nın -2 olduğunu kolaylıkla bulabiliriz. Böyle bir durum olduğundan a² işlemi de kendiliğinden 4 olacaktır. Öyleyse x²-4x=5 işlemine eklemiş olduğumuz soru işareti ile birlikte eşitliğin karşısında yer alan 5’i eşitliğini içerisine dahil edersek şöyle bir görüntü ile karşılaşırız.

x²-4x-5+? = 0

Biraz önce hesaplamış olduğumuz işlemle göre a’nın iki olduğunu bulmuştuk. Öyleyse bu tam kare (x-2)² şeklinde olacaktır. Bu denklemi açacak olursak x²-4x+4 denklemi ile karşılaşırız. Bu denklemin yukarıda yer alan denklemden tek farkı aralarında olan farktır. Öyleyse bu farkı kapatmak için soru işaretini kullanmamız gerekir. ? yerine dokuz sayısını yazdığımız zaman denklem eşitlenecektir. Böylelikle ortaya x²-4x+4 denklemi çıkar. Faka denklemin bir tarafına bir sayı eklersek karşı tarafa da aynı sayıyı eklememiz gerektiğinden dolayı

x²-4x+4 = 9 denklemi karşımıza çıkacaktır. İlk denklemi çarpanlara ayırma yöntemi ile çözümlersek elimize iki adet x-2 denklemi gelecektir. Böylece (x-2)² = 9 olacaktır. Bu durumda dokuzun da kökünü alarak 3 ve -3 sonuçlarına varabiliriz. Öyleyse x-2 = 3 ve x-2= -3’tür. Bu durumda x ya -1’dir ya da 5’tir. Yani yaptığımız ikinci dereceden denklem hesaplama işlemleri ile bu denklemin kökünün -1 ile 5 olduğunu görürüz.

Diskriminant Denklem Çözme Yöntemi

Fakat bu yolları kullanarak da her daim ikinci dereceden denklem hesaplama işlemlerini gerçekleştiremeyiz.

Bu gibi bir durumda elimizde kullanabileceğimiz bir formül bulunmaktadır. Bu formül sayesinde ikinci dereceden bir bilinmeyenli tüm denklemler için genel bir yaklaşım elde edilir.

İkinci dereceden denklem hesaplama işlemlerinde bu denklemlerin diskriminantı alınarak da bir çözüm yapılabilir. Bu formül ▲ = b²-4ac şeklindedir. ▲ işareti bir denklemin deltasını yani diskriminantını ifade eder.

Diskriminant ile çözümün üç farklı metodu vardır. Bu yollardan ilki ▲ > 0 durumunda gerçekleşir.

Bu durumda bu denkleme ait kökler aşağıdaki görseldeki gibidir.

▲ = 0 iken denklemin kökleri birbirine eşit olan iki reel kökten oluşmaktadır.

Bu tür bir durum ile karşı karşıya geldiğimizde denklemin kökü -b/2a şeklinde bulunacaktır.

▲ < 0 durumunda ise denklemin herhangi bir reel kökü bulunmamaktadır. İkinci dereceden denklem hesaplama işlemleri burada biter. Çünkü bu denklemin iki farklı karmaşık kökü vardır.

Örneğin x²-6x+9 = 0 denklemini ele alırsak bu denklemin diskriminantına bakalım. ▲ = b²-4ac şeklindeki denklem üzerinden a= 1, b = -6 ve c = 9’dur. Bu durumda b² = 36 ve 4ac= 36 olacaktır. Yani b²-4ac, 36-36’dan 0 çıkacaktır. bu durumda ▲ = 0’dır. Öyleyse bu denklemin kökü -b/2a olacaktır. yani bu denklemin kökü birbirine eşit olan iki reel kökten oluşacaktır. -b/2a üzerinden yapacağımız ikinci dereceden denklem hesaplama işlemine göre bu denklemin kökü de 3 olacaktır. Yukarıda çarpanlara ayırma yöntemi ile ikinci dereceden denklem hesaplama işlemi yaptığımız zaman da aynı sonuca vardığımız için yapmış olduğumuz bu ikinci dereceden denklem hesaplama işleminin doğru olduğunu varsayabiliriz.

Siz de farklı örnekler üzerinden değerlendirmeler yaparak ikinci dereceden denklem hesaplama işlemleri konusunda kendinizi geliştirebilirsiniz.

İkinci Dereceden Denklem Hesaplama!