Karekök Hesaplama

Matematiğin en önemli konularından biri olan kareköklü sayılar matematikle ilgili birçok problemde karşımıza çıkmaktadır. Karşılan problemlerin çözümü için kareköklü sayılarla ilgili hesaplamalar yapılmalıdır. Bunun için kareköklü sayıların hesaplamasında bulunan özel yöntemlerin bilinmesi gerekmektedir. Biz de yazı içerisinde sizlere karekök, kareköklü sayılar ve karekök hesaplama konularından bahsederek konu hakkında bilgi sağlamaya çalışacağız. Karekök Nedir? Karekök, matematikte […] Daha Fazla Bilgi

Hesaplanacak sayı:

Matematiğin en önemli konularından biri olan kareköklü sayılar matematikle ilgili birçok problemde karşımıza çıkmaktadır. Karşılan problemlerin çözümü için kareköklü sayılarla ilgili hesaplamalar yapılmalıdır. Bunun için kareköklü sayıların hesaplamasında bulunan özel yöntemlerin bilinmesi gerekmektedir. Biz de yazı içerisinde sizlere karekök, kareköklü sayılar ve karekök hesaplama konularından bahsederek konu hakkında bilgi sağlamaya çalışacağız.

Karekök Nedir?

Karekök, matematikte kullanılan bir terimdir. Bir sayının karesini alma işleminin tam tersi sayının karekökünü ifade etmektedir. Karekök, yalnızca pozitif sayılar için geçerli olan bir tanımdır. Matematikte “√¯” sembolü ile gösterilmektedir ve sayının karesi alındığında yani sayı kendisi ile çarpıldığında pozitif gerçel sayıyı ifade etmektedir.

Küçük bir örnekle devam edecek olursak, √4’ün eşiti 2’dir. Çünkü 2’nin karesi (2 x 2) 4 olmaktadır.

Karekök bulma işlemi matematikte sıkça rastlanan ikinci dereceden denklemler (ax² + bx + c = 0) ile ilgili problemlerin çözümünde kullanılmaktadır.

Negatif sayılar için karekök bulunmasında gerçel sayılar elde edilmemektedir. Negatif sayılarda karekök bulma işlemlerinde sonuca ulaşabilmek için sanal sayı ve karmaşık sayılardan yararlanılmaktadır.

Pozitif tam sayılarda karekök bulma işlemlerinden genel olarak irrasyonel sayılar yani iki tam sayının kesri olarak ifade edilemeyen sayılar elde edilmektedir. Örnek verecek olursak, √2 sayısını ele alacak olursak bu sayının kesirli şekilde (a ve b bir tam sayı olmak üzere a/b) yazılması mümkün değildir. Bunun yanında √2 sayısı kenarları 1 birim uzunluğunda olan karenin köşegen uzunluğuna eşit olmaktadır. √2 sayısının irrasyonel olduğunun bulunması Hippasus’a atfedilmektedir. √2 sayısının irrasyonel olduğunun bulunması ile ilgili olarak anlatılan bir hikayeye göre Metanpontumlu Hippasus (sayılara karşı özel bir ilgisi olduğu bilinir ve aynı zamanda Pisagor’un takipçilerinden birisidir) tarafından dik kenarlarına ait uzunluğu 1 birim olan bir dik üçgenin hipotenüsüne ait uzunluğun rasyonel sayı olmadığı ispat edilmiştir. Pisagor’un bu durumu kabul etmemesi ancak tam tersi durumu da kanıtlayamaması üzerine Hippasus’u bir tekneden attırdığı söylenmektedir.

Karekök’ü ifade eden sembolün (√¯) kullanımı 16. yüzyıla dayanmaktadır.

Karekökün Sürekli Kesri

  • x-1=(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)

Bu eşitlikte x – 1 ifadesinin iki kare farkı şeklinde yazıldığı görülmektedir.

  • Verilen ifade düzenlendiğinde \sqrt{x}-1=\frac{x-1}{1+\sqrt{x}}\Rightarrow \sqrt{x}=1+\frac{x-1}{1+\sqrt{x}}  biçimde yazılmaktadır.
  •  İfadenin sol kısmında bulunan √x’in eşiti sağ tarafta yine √x yerine yazıldığında eşitlik,\sqrt{x}=1+\frac{x-1}{1+1+\frac{x-1}{1+\sqrt{x}}}\Rightarrow \sqrt{x}=1+\frac{x-1}{2+\frac{x-1}{1+\sqrt{x}}} şeklinde ifade edilmektedir.
  • Bir önceki aşamadaki işlem tekrar edildiğinde ifade\sqrt{x}=1+\frac{x-1}{2+\frac{x-1}{1+1+\frac{x-1}{1+\sqrt{x}}}}\Rightarrow \sqrt{x}=1+\frac{x-1}{2+\frac{x-1}{2+\frac{x-1}{1+\sqrt{x}}}} şekline dönüşmektedir. Aynı şekilde yapılan işlem sürekli olarak devam edebilir. Yapılan işleme sürekli olarak devam edilmesi durumunda,

\sqrt{x} = 1+\cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2 + \ddots}}}}\,    şeklinde gösterilebilir.  Yapılan işlemler sonucunda en son gösterilen şekline dönüşen ifade de kesir K harfi ile sembolize edilir ve   \sqrt{x} = 1 + \underset{a=1}{\overset{\infty}{\mathrm K}} \frac{x-1}{2}.\,  eşitliği elde edilmiş olur.

Kareköklerin Toplamı İşlemi

Kareköklerin toplamına ilişkin olarak verilen ifade aşağıdaki gibidir;

\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1}

İfade yer alan B_k ile k, kıncı Bernoulli sayısını belirtilmektedir.

\sum_{i=1}^{n}i^{\frac{1}{2}}\approx \frac{2}{3}n\,\sqrt{n}+\frac{1}{2}\,\sqrt{n}+\varepsilon

i=1298 için  \varepsilon=0,20672971

Karekök Ortalaması ve Hesaplaması

Karekök ortalamasının bir diğer bilinen şekli de kuadratik ortalamadır. Karekök ortalaması İngilizce ifadesinden dolayı matematikte rms olarak da karşımıza çıkmaktadır (rms = root mean square). Karekök ortalaması istatistikte bir ölçüt olarak değişen miktarlarının büyüklüğünün ölçülmesinde kullanılmaktadır. Özellikle değişimin artı yönde ve eksi yönde seyrettiği dalgalarda faydalı olmaktadır. Karekök ortalaması hesaplaması, sürekli değişim gösteren bir fonksiyonda sürekli olarak yer almayan bir değer serisi için yapılabilmektedir.

Karekök ortalaması, elde bulunan sayıların karelerinin ortalaması alındıktan sonra çıkan sonucun karekökünün alınması şeklinde olmaktadır. Karekök ortalaması ile ilgili olarak formülize edilmiş ifadeye aşağıda yer verilmiştir.

n sayıdaki değer \{x_1,x_2,\dots,x_n\} için yapılan karekök ortalaması hesaplaması,

 x_{\mathrm{rms}} =............=.. \sqrt {{1 \over n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2} = \sqrt {{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} \over n}  olarak hesaplanır.

T_1 \le t \le T_2 aralığında olmak üzere sürekli olan bir f(t) fonksiyonunun ifadesi

 f_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {[f(t)]}^2\, dt}}  formülü ile yapılmaktadır.

Karekök Ortalamasının Kullanım Yerleri

Herhangi bir fonksiyona ait karekök ortalaması yani rms değeri fizik mühendisliği ile elektrik mühendisliğinde yapılan hesaplamalarda kullanılmaktadır. Bir örnekle açıklayalım,

R direncine sahip olan bir iletkenin harcadığı P  gününün hesaplanmasında iletkenden  geçen sabit akımı I ile ifade ettiğimizde yapılacak olan hesaplama P = I^2 R\,\! şeklinde olmaktadır. Ancak akımın I(t) şeklinde değişen bir fonksiyon ile ifade edildiği durumlarda karekök ortalamasından yararlanmak gerekmektedir. Buna göre;

P_\mathrm{avg}\,\! = \langle I^2R \rangle \,\! (〈…〉 aritmetik ortalamayı belirtmektedir.)
= R\langle I^2 \rangle\,\! (R bir sabit olduğu durumlarda ortalamanın dışına çıkarılması mümkündür.)
= I_\mathrm{rms}^2R\,\! (rms (karekök ortalaması)’in tanımından)

Aynı mantık kullanılarak;    P_\mathrm{avg} = {V_\mathrm{rms}^2\over R}\,\!      ,        P_\mathrm{avg} = V_\mathrm{rms}I_\mathrm{rms}\,\!  ifadesinde bulunulabilir.

Yukarıda verilen ifadede gerilim ve akım arasında orantı olduğu varsayılmıştır (yük resistiftir). Yani genel bir tanım olarak düşünülmemelidir.

Karekök ortalama hesaplaması (rms), alternatif akım genel durumunda I(t) sinusoidal akım olduğunda aynı formül yardımı ile hesaplanabilmektedir. I_{\mathrm{p}} tepe genliği olarak belirtilirse;

I_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {(I_\mathrm{p}\sin(\omega t)}\, })^2 dt}\,\! şeklinde gösterilebilir.

I_{\mathrm{p}} ifadesinin pozitif bir gerçel sayı olduğu bilindiğine göre akımın karekök ortalaması,

 

I_{\mathrm{rms}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {\sin^2(\omega t)}\, dt}} formülüne dönüşür.

Eşitlikte yer alan trigonometrik fonksiyonun karesinin alımını işlemden çıkarmak amacı ile kareli ifade yerine trigonometrik bir ifade yazdığımızda eşitlik;

I_{\mathrm{rms}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {{1 - \cos(2\omega t) \over 2}}\, dt}}
I_{\mathrm{rms}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} \left [ {{t \over 2} -{ \sin(2\omega t) \over 4\omega}} \right ]_{T_1}^{T_2} } şeklinde yeniden düzenlenmektedir.

Ancak aralığın tam periyotlardan oluşan bir tam sayı olması sebebi ile sinüs değerler ifadenin dışında bırakılır.

I_{\mathrm{rms}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} \left [ {{t \over 2}} \right ]_{T_1}^{T_2} } = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {{{T_2-T_1} \over 2}} } = {I_\mathrm{p} \over {\sqrt 2}}

Saf bir sinüs dalgasında tepe voltajı, rms x 1.414 √2 ‘e eşit olmaktadır. Tepeden tepeye voltaj bu eşitliğin iki katı oranında olmaktadır.

Dönüşüm katsayıları

  • Tepe genliği I_\mathrm{p}\!,  tepeden tepeye genliğin I_\mathrm{p-p}\! yarısına eşit olmaktadır.
  • Bir AC dalga formun ait zirve faktörü, tepe değerinin rms değerine oranlanması ile elde edilmektedir.
  • Bir AC dalga formuna ait şekil faktörü, tepe değerinin ortalama değerine oranlanması ile elde edilmektedir.

Kare dalga için;

  • RMS değeri = Tepe değeri
  • Ortalama Değer = Tepe değeri
  • Tepeden tepeye değer = Tepe değerinin 2 katı
  • RMS değeri = Tepe değerinin 0,666 katı
  • Ortalama Değer = Tepe değerinin 0,33 katı
  • Tepeden tepeye değeri = Tepe değerinin 3 katı

Karekök Hesaplama Nasıl Yapılır?

Kareköklü sayıların hesaplanmasında karekökü tam sayı olan poziif sayıların karekökünü bulmak gayet kolay olmaktadır. Karekök dışına pozitif tam sayı olarak çıkan sayıların bir kısmı aşağıda yer almaktadır.

Tam Kare Sayılar

Ancak bu şekilde olmayan sayılar için hesaplama yapmak gerekmektedir. Karekök hesaplaması yapılırken kullanılacak bir yöntem olarak karekök içinde bulunan sayının çarpanlarına ayrılması gösterilebilir. Örneğin √400 sayısını hesaplayalım,

√400 sayısını çarpanlarına 16 x 25 olarak ayırdığımızda √400 = √(25 x 16) ifadesine ulaşmış oluruz.

Elde ettiğimiz yeni ifade √25 x √16 şeklinde yazılabilmektedir. 25 ve 16 sayısı karekök içinden 5 ve 4 olarak çıkmaktadır. Karekökten çıkardıktan sonra 5 x 4 = 20 sonucu ile √400’ün eşitinin 20 olduğunu bulmuş oluruz.

Başka bir örnekle devam edelim. √147 sayısının karekök hesaplamasını yapalım,

√147 sayısını da çarpanlarına ayırırsak 49 x 3 şeklinde √(49 x 3) olarak yazabiliriz. Bu ifadeyi de ayrı ayrı √49 x √3 olarak yazdıktan sonra sayıları karekök dışına çıkarmamız gerekir. Ancak bu örnekte sadece √49 kök dışına pozitif tam sayı olarak çıkabilmektedir (√49 karekök dışına 7 olarak çıkmaktadır). Bu sebeple işlemin sonucu 7 x √3 işlemi ile 7√3 olarak bulunur.

Hesaplama aracının kullanılmasıyla da karekök hesaplaması yapmak oldukça basit ve pratik bir yöntemdir. Hesaplama aracımız yardımı ile karekök hesaplaması yapmak için karekökü alınacak sayının yazılması ve hesaplama butonuna tıklanması yeterli olmaktadır.

Karekök Hesaplama!