Kesir Sadeleştirme | Sen iste o hesaplasın!

Kesir Sadeleştirme

Sadeleştirmenin sözlükteki anlamına baktığımız zaman yalınlaştırma, yalın hale getirme, kolaylaştırma, basit ve anlaşılır bir duruma getirme ve sadeleştirme işi gibi anlamları olduğunu görürürüz. Kesir sadeleştirme ise herhangi bir kesrin pay ve paydasının aynı sayma sayısına bölünmesi ile birlikte bu kesrin sadeleştirmesi işlemine verilen addır. Kesir sadeleşse dahi kesrin sahip olduğu değer bu işlemin ardından herhangi bir değişikliğe uğramayacak ve sahip olduğu kesir değerini koruyacaktır.

Kesir Nedir?

Kesir bir birimin bölündüğü parçalardan biri ya da birkaçının bütüne karşı olan oranını ifade eden sayıya verilen addır. Kesir kavramı, ondalık sayılardan ve yüzdelerden ayrı bir şekilde ifade edilebilmesi açısından bayağı kesirleri de tanımlamak için kullanılmaktadır. İlk kesirler, tam sayıların çarpmaya göre tersinden oluşmaktadır. Yani iki paradan biri, üç parçadan biri, dört parçadan biri şeklinde devam ederek tarihi simgelemekte kullanılmıştır. Fakat matematik ilerlemeye devam ettikçe kesirler de daha ileri bir tür olan bayağı kesirlerin ortaya çıkmasına sebep olmuştur. Bayağı kesir dediğimiz şey bir pay ve paydadan oluşan bildiğimiz kesirdir. 1/3, 7/8 13/7 vb. bir çok kesir bu kesirlerin içerisinde yer almaktadır.

Pay, birbirine eşit parça sayısını belirtmek üzere kullanılırken, payda ise bu parçaların kaç tanesinin bir bütünü oluşturduğunu ifade edecektir. Eğer bir kesrin payı dört ve paydası beş ise bu kesir 4/5 şeklinde ifade edilecektir ve 4 rakamı kaç eşit parça olduğunu ifade edecekken 5 rakamı ise bu parçalardan bütünü oluşturabilmek için kaç tane gerekli olduğunu belirtecektir. Bir başka örnek ile bu urumu açıklayacak olursak; eşit parçalara bölünmüş olan bir pastanın sadece bir dilimini yiyen Ahmet, toplamda dört adet parçaya bölünmüş bir pastanın bir bölü dördünü yani 1/4’ünü yemiş olacaktır. Genel olarak pay ve paydayı birbirlerinden ayıran bir bölme işareti yani bölü çizgisi yer alır. Çizgi eğer 3/4 şeklinde ise bu örnekte olan yamuk çizgi eğik çizgi olarak adlandırılırken, yatay bir çizgiye sahip olan pay ve payda arasındaki çizgiye verilen ad kesir çizgisidir. Bununla birlikte kimi zamanlarda pay ve payda arasında herhangi bir ayırıcı çizgi bulunmaz. ( 34 ) Ayrıca bilgisayar görüntüsünde ya da tipografisinde bayağı kesirlerin tek bir karakter ile ifade edildiği de görülmektedir. ( ½ )

Kesir Çeşitleri Nelerdir?

Kesirlerin çeşitli versiyonları yer almaktadır. Ayrılan bu kesir türlerinin hep üzerinden kesir sadeleştirme işlemleri yapılabilmektedir. Bilinen en basit bayağı kesir türü olan basit kesirler, rasyonel bir tam sayının sıfır olmayan bir başka tam sayıya bölünmesi şeklinde yazılan sayılar basit kesirleri ifade edecektir. Payın mutlak değeri paydanınkinden küçük olduğu zamanlarda bu tür bayağı kesirler, basit kesir olarak ifade edilmektedir. Bu gibi durumlarda birim kesrin mutlak değeri birden küçük ise basit kesir olarak adlandırılacaktır. Basit kesir sadeleştirme işlemleri ise en kolay işlemlerden biridir. Örneğin normal iki bölü altı olan bir kesri ikiye bölerek kesir sadeleştirme işlemini gerçekleştirdiğimiz zaman elde edeceğimiz kesir bir bölü üçtür. Kesrin değeri değişmemiştir.

Bir başka kesir türü olan bileşik kesirlere gelecek olursak, bu tür bayağı kesirlerde, pay, paydaya ya eşit olur ya da payın paydayı geçtiği görülür. Bu tür pay >= payda durumu olan kesirlere verilen ad bileşik kesirlerdir. Bileşik kesirlerde gerçekleştirilecek olan kesir sadeleştirme işlemleri de pek zor sayılmaz. Örneğin beş bölü beş kesrine kesir sadeleştirme işlemini uygulamak istediğimiz zaman elimizden gelecek tek kesir sadeleştirme işlemi bu kesri beşe bölmektir. Böylece sayı bir bölü bir şeklide yazılacaktır. Bu bileşik kesir de, kesir sadeleştirme işleminin ardından değerini kaybetmemiş olacaktır. Bunun yanında bir başka bileşik kesir olan ve payı paydasından büyük olan kesirler üzerinden kesir sadeleştirme işlemini yapmayı deneyelim. Örneğin elimizde on iki bölü sekiz bileşik kesri olsun. Bu tür bir kesre kesir sadeleştirme kullanmak istiyorsak bu kesri ne kadar sadeleştirmek istediğimize de bakmamız gerekir. Zira istersen bu kesri dörde bölebileceğimiz gibi aynı zamanda sadece ikiye bölerek kesir sadeleştirme işlemini devam ettirmeyebiliriz. İkiye bölündükten sonra altı bölü dört olacak bu kesir bir kez daha kesir sadeleştirme işlemine uğrayarak ikiye bölünürse daha fazla sadeleşmeyecek bir forma ulaşarak üç bölü iki haline gelecektir.

Tam sayılı kesirler, bayağı kesirlerin son türüdür. Bu tür bir kesrin yazılabilmesi için bir tam sayı ile bir basit kesrin toplanması gerekmektedir. Bu tür bir toplama işlemi toplama sembolü olmadan gerçekleşmektedir. Örneğin üç tam ve iki çeyrek portakalı belirmek üzere sayının kesirsel bölümü ile birlikte tam sayı parçası yan yana yazılacaktır. Yani 3 + 2/4 şeklinde ifade edilecek olan bu kesir 3 tam iki bölü dört şeklinde yazılacaktır. Bu tür bir kesri sadeleştirmek istediğimiz zaman elimizde iki farklı yol bulunur. Görünürde bir sadeleştirme imkanına sahip olan bu kesri sadeleştirmek için payı ve paydayı bölebileceğimiz bir sayı ile kesir sadeleştirme işlemini gerçekleştirebiliriz. Örneğin bu kesre baktığımız zaman 3 tam 2/4 şeklinde bir kesri ikiye bölerek sadeleştirmemizin mümkün olacağını görürüz. 3 tam 2/4 kesrini kesir sadeleştirme işlemi ile sadeleştirdikten sonra elimizde 3 tam 1/2 sayısı kalacaktır. Bu sayı daha fazla sadeleşemeyeceğinden dolayı kesrin son hali de bu olacaktır. Fakat bu kesri sadeleştirmek için farklı bir yöntem de kullanabiliriz. Bunun için tam sayılı bu kesri öncelikle bileşik kesre dönüştürmemiz gerekiyor. Bu işlemi yaparken tam sayıyı payda ile çarpacak ve pay ile topladıktan sonra bu kısmı pay olarak yazacak ve paydayı aynı şekilde bırakacağız. Yani 3 çarpı 4 dediktenn sonra bu çarpımın sonucunu iki ile topladıktan sonra paydayı da dört olarak bırakacağız. Bu durumda da elimizde 14/4 sayısı olacak. Bu kesre, kesir sadeleştirme işlemi yapmak için bu kesri ikiye bölmemiz gerekiyor. İkiye bölünen kesir sonucunda 7/2 sayısını verecektir. Şimdi bir kez daha bu kesri tam sayılı bir kesir haline getirecek olursak elimizde 3 tam 1 bölü 2 sayısı olduğunu görürürüz. Yani her iki yolu kullanarak da kesir sadeleştirme işlemini gerçekleştirmiş oluruz.

Kesir Sadeleştirme Örnekleri

Kesir sadeleştirme işlemlerine ilişkin olarak söyleyebileceğimiz şeyler elbette ki yukarıda yer alan anlatım ile sınırlı değildir. Kesir sadeleştirme işlemleri birçok farklı sayı düzeneği ile yapılabilmektedir. Şimdi size çeşitli örnekler vererek kesir sadeleştirme işlemlerini nasıl yapabileceğinizi göstereceğiz.

Örneğin toplam ya da çıkarım halinde olan sayıları kesir sadeleştirme işlemlerini kullanarak nasıl toplayıp çıkaracağımıza bir göz atalım. İlk olarak toplama işlemini ele alalım.

Elimizde 12/10 ve 16/20 şeklinde iki kesir olduğunu ve kesirlerin toplam halinde olduklarını varsayalım. Bu durumda (12/10+16/20) şeklinde bir işlem ile karşı karşıya geliriz. Bu işlemi gerçekleştirebilmek için 12/10 sayısını genişleterek bu hesabı yapabileceğimiz gibi, kesir sadeleştirme yoluna giderek her iki kesri de sadeleştirip ortak bir çatı altında toplamamız da mümkündür. Bunu yapabilmek için 12/10 sayısını ikiye bölerek 6/5 sayısını bulurken, 16/20 sayısını dörde bölerek 4/5 sayısını buluruz. Böylece her iki sayıyı da birbirleri ile toplayabilme imkanına erişiriz. Bu iki sayıyı topladığımız zaman ise elde ettiğimiz kesir 10/5 olur. Bu kesir bir bileşik kesir olmakla birlikte kesir sadeleştirme işlemleri ile birlikte daha da sade bir şekilde yazılabilir. Payı ve paydayı beşe böldüğümüz zaman 2 sayısını elde ederiz. Bu da toplama işleminin en sade halini oluşturacaktır. Aynı işlemi çıkarma şeklinde yapacak olsaydık ise 12/10’den 16/20 çıkarmayı denerdik. Kesir sadeleştirme işleminin sonunda ise elimizde 2/5 kesri olurdu. Daha fazla kesir sadeleştirme işlemi yapılamayan bu kesir bize sonucu da vermiş olurdu.

Bunun yanında çarpım ve bölüm işlemleri içerisinde olan kesirlerin de sadeleştirerek daha kolay bir şekilde çözümlenebileceğini de söyleyelim.

Örneğin 6/9 sayısı ile 9/12 sayısının çarpıldığını düşünelim. Bu durumda (6/9 * 9/12) şeklinde bir hesap karşımıza çıkacaktır. Fakat çarpma işlemine geçmeden önce her iki kesri de kendi içlerinde sadeleştirebiliriz. Bu durumda 2/3 ile 3/4 sayılarını çarpmış oluruz. Fakat bununla da kalmaz ilk sayının payı ile ikinci sayının paydasını ve ilk sayının paydası ile ikinci sayının payını sadeleştirirsek herhangi bir çarpma işlemini gerçekleştirmeden 1/2 sayısına ulaşmış oluruz.

Benzer bir işlemi bölme şeklinde düşünecek olursak, 6/9 sayısını 12/9 sayısına bölmek istediğimiz zaman bölüm halinde olan kesrin ters çevrildikten sonra ilk kesir ile çarpılacağını hepimiz biliyoruz. Hali hazırda çevrilmiş halinden sonra yukarıda yer alan çarpma işlemi üzerinden yapmış olduğumuz kesir sadeleştirme işlemlerini takip ederek aynı sonuca varabilmeniz de mümkün olacaktır.

Kesirler ondalık sayı şeklinde yazılabileceği gibi bilinmeyen x,y ve z gibi harfler eşliğinde de yazılarak bu ifadeler üzerinden çeşitli problemler sorulmasını da mümkün kılarlar. Bu nedenle de kesir sadeleştirme işlemlerinin şu anda tek bir içerik üzerinde yer veremeyeceğimiz kadar geniş bir şekilde ele alınabileceğini de söylemek isteriz. Artık sahip olduğunuz bu temel bilgiyi pekiştirmek de sizin elinizde yer almaktadır.

Kesir Sadeleştirme!

POPÜLER HESAPLAMALAR

Sorry. No data so far.