Kombinasyon Hesaplama

Seçim yapma hem matematikte hem günlük yaşamda sıkça karşılaşılan bir durumdur. Seçim yaparken grup içerisinden yapılabilecek en iyi seçimin yanında kaç seçim alternatifine sahip olunduğu da bilinmek istenir. Bu şekilde elemanları arasından seçim yapılacak gruptan kaç farklı alternatife sahip olunduğunun hesaplanması matematikte kombinasyon olarak adlandırılmaktadır. Bu yazımızda kombinasyonun ne olduğuna ayrıntılı şekilde yer vereceğiz. Ayrıca […] Daha Fazla Bilgi

Eleman Sayısı (n):
Seçim Sayısı (r):

Seçim yapma hem matematikte hem günlük yaşamda sıkça karşılaşılan bir durumdur. Seçim yaparken grup içerisinden yapılabilecek en iyi seçimin yanında kaç seçim alternatifine sahip olunduğu da bilinmek istenir. Bu şekilde elemanları arasından seçim yapılacak gruptan kaç farklı alternatife sahip olunduğunun hesaplanması matematikte kombinasyon olarak adlandırılmaktadır. Bu yazımızda kombinasyonun ne olduğuna ayrıntılı şekilde yer vereceğiz. Ayrıca birbirine benzer olan ve zaman zaman karıştırılan permütasyon ile kombinasyonun farkı ile kombinasyon hesaplama konularını örnekler ile açıklayacağız.

Kombinasyon – Permütasyon Nedir?

Matematik derslerinde sık sık karşılaştığımız kombinasyon bir grup içerisinden yapılan seçimi konu edinmektedir. Kombinasyon ile yapılan seçimlerde grup elemanlarının sırası göz önüne alınmaz. Kombinasyonu aynı zamanda elemanlardan oluşan bir kümenin alt kümeleri şeklinde tanımlamak alt kümelerde de sıranın önemli olmamasından dolayı yanlış bir tanım olmayacaktır.

Bir grubun alt kümelerine aynı zamanda bu grubun kombinasyonları da denilebilir. Örneğin; Ahmet, Ayşe, Mehmet ve Ali’den oluşan bir gruptan oluşturulan Ahmet, Ayşe ve Ali bu grubun hem alt kümesi hem de kombinasyonu olmaktadır.

Permütasyon ile kombinasyon çoğu zaman karıştırılmaktadır. İki konu arasındaki temel fark seçme ve sıralamadır. Kombinasyon konusunda grup elemanları arasından sıra gözetmeden sadece seçme işlemi yapılırken permütasyon konusunda sıralama önemli olmaktadır.

Kombinasyon ve Permütasyon Formülleri

  • Permütasyon sorularında çözüme ulaşmak için,

P (n,r)=n! / (n−r)! formülünden yararlanılır.

  • Kombinasyon sorularında çözüme ulaşmak için ise,

C (n,r)=n! / [(n−r)! . r!] formülünden yararlanılır.

  • Ayrıca permütasyon ve kombinasyon formülleri arasında şu şekilde bir ilişki kurulabilir;

C (n,r) = P (n,r) / r!

Kombinasyonun Özellikleri

Aşağıda kombinasyon konusu ile ilgi problemlerin çözümünde yardımcı olabilecek özellikler açıklamaları ile birlikte verilmektedir.

  • C (n,r) = C (n, n-r)

C (n,r) = n! / [(n-r)! .  r!]  ve

C (n, n-r) = n! / [n-(n-r)]! . (n-r)! = n! / r! (n – r)!

olması sebebi ile C (n,r) = C (n, n-r) eşitliği elde edilir.

  • C (n,1) = C (n, n-1) = n

C (n,1) = n! / (n-1)! . 1! = n(n-1)! / (n-1)! = n eşitliği ile ilk özellikten dolayı C (n,1) = C (n, n-1) = n elde edilir.

  • C (n,0) = C (n,n) = 1

C = (n,0) = n! / (n-0)! . 0! = n! / n! . 1 = 1 eşitliği ve yine birinci özellikten dolayı  C (n,0) = C (n,n) = 1 elde edilir.

  • C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + …….. + C (n,n) = 2n 

Kombinasyon Hesaplama Nasıl Yapılır?

Kombinasyon soruları yani grup içerisinden seçim yapma işlemi yazının başında da belirtildiği üzere C(n,r)={n \choose r} = {n \choose {n-r}} = \frac{P(n,r)}{r!} = \frac{n!}{r!(n - r)!}

formülü sayesinde kombinasyon özellikleri yardımı ile hesaplanmaktadır.

Bunun yanında kombinasyon hesaplama yapabilmek için kombinasyon hesaplama aracımızdan da yararlanabilirsiniz. Hesaplama aracı ile kombinasyon hesaplama yapabilmek için gerekli alanları doldurup hesaplama butonuna tıklamanız gerekmektedir.

Kombinasyon formülü ile yapılan hesaplamaları, verilen örnekler yardımıyla inceleyelim.

Örnek 1 : 1, 2, 3, 4, 5 sayılarından oluşan bir küme içerisinden kaç farklı ikili kombinasyon oluşturulabilir?

Çözüm : C (5,2) = 5! / (5-2)! . 2!

= 5! / 3! . 2!

= 20 /2 = 10 farklı şekilde ikili kombinasyon oluşturulabilir.

Örnek 2 : Sekiz kişi arasından yapılacak seçimle oluşturulacak altı kişilik takım kaç farklı şekilde seçilebilir?

Çözüm : C (8,6) = 8! / 2! . 6!

= 56/2 = 28 farklı şekilde seçim yapılabilir.

Örnek 3 : Bir grup içerisinde yer alan beş kız ve dört erkek arasından seçilecek iki kız ve iki erkek için kaç farklı seçim yapılabilir?

Çözüm : C (5,2) . C (4,2) = [5! / 3! . 2!] . [4! / 2! . 2!]

= 10 . 6 = 60 farklı şekilde iki kız ve iki erkek seçilebilir.

Örnek 4 : Resimde yer alan çember üzerinde beş farklı nokta bulunmaktadır. Buna göre;

Adsız

A – Çember üzerinde bulunan beş noktanın herhangi iki tanesinde geçen kaç farklı doğru çizilebilir?

B – Çember üzerinde bulunan beş noktanın herhangi üçünün köşesi olacağı kaç farklı üçgen çizilebilir?

Çözüm :

A – Çember üzerinde bulunan beş noktanın herhangi iki tanesinden geçen doğru çizebilmek için 5 in 2 li kombinasyonunu yani 5 noktadan 2 tanesinin kaç farklı şekilde seçilebileceği hesaplanmalıdır.

C (5,2) = 5! / (5-2)! . 2!

= 5! / 3! . 2!

= 20/2 = 10 farklı şekilde yapılabilecek seçimle iki nokta üzerinden geçen doğru çizilebilir.

B- Çember üzerinde bulunan beş noktanın herhangi üç tanesinin köşe noktaları olduğu üçgenin çizilebilmesi için 5’in 3’lü kombinasyonunu yani 5 noktadan 3 tanesinin kaç farklı şekilde seçilebileceği hesaplanmalıdır.

C (5,3) = 5! / (5-2)! . 3!

= 5! / 2! . 3!

= 20/2 =10 farklı şekilde yapılabilecek seçimle üç noktası köşesi köşe olabilecek şekilde üçgen çizilebilir.

Örnek 5 : C ( n+2, n+1) + C (n,1) – C (n,0) = 15 eşitliğinin sağlanması için n sayısı kaç olmalıdır?

Çözüm : Soruda verilen ifadelerin eşitliği şu şekilde olmaktadır,

C (n+2, n+1) = n+2

C (n,1) = n

ve C (n,0) = 1

Buradan yola çıkarak soruda verilen bilgileri (n+2) + n – 1 = 15 şekline dönüştürebilmemiz mümkün olmaktadır. 2n + 1 =15 eşitliğinde n bilinmeyeni 7 olarak bulunur.

Örnek 6 : Herhangi üç tanesi doğrusal olmayan yedi nokta ile;

A- Kaç tane doğru oluşturulabilir?

B – Kaç tane üçgen oluşturulabilir?

C – Kaç tane çokgen oluşturulabilir?

Çözüm :

A – İki nokta üzerinden bir doğru geçeceği için herhangi üç tanesi doğrusal olmayan yedi nokta ile oluşturulabilecek doğru sayısı 7’nin 2’li kombinasyonu ile hesaplanır.

(7,2) = 21 farklı şekilde doğru oluşturulabilir.

B – Bulunan yedi noktadan herhangi doğrusal olmayan üç nokta çizilebilecek üçgen sayısı 7’nin 3’lü kombinasyonu ile hesaplanır.

(7,3) = 35 farklı şekilde üçgen çizilebilir.

C – Soruda verilen bilgiler dahilinde bu noktalar ile çizilebilecek çokgen (üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen ve yedigen) sayısı 7’nin 3’lü kombinasyonu, 7’nin 4’lü kombinasyonu, 7’nin 5’li kombinasyonu, 7’nin 6’lı kombinasyonu ve 7’nin 7’li kombinasyonu ile hesaplanır.

(7,3) + (7,4) + (7,5) + (7,6) + (7,7) = 99 farklı şekilde çokgen çizilebilir.

Örnek 7 : Bir şirkette yapılan toplantıda toplamda 13 kişi toplantıya katılıyor. Toplantıya katılan 13 kişinin her biri diğer kişiler ile tokalaşıyor. Buna göre bu toplantıda tokalaşma sayısı kaç olmaktadır?

Çözüm : Toplantıda karşılıklı olarak iki kişi tarafından tokalaşma olduğu için sayıyı bulurken 13’ün 2’li kombinasyonu hesaplamak gerekir.

(13,2) = 13! / (13-2)! . 2!

= 78 farklı tokalaşma olur.

Örnek 8 : Birbirine paralel olan a doğrusu üzerinde 3, b doğrusu üzerinde ise 5 nokta yer almaktadır. a doğrusu ile b doğrusu üzerindeki noktalar ile üçgen çizilecektir. Bu doğrular üzerindeki noktaların üçgenin köşeleri olacak şekilde kaç farklı şekilde üçgen çizilebilir.

Çözüm : Üçgenin çizilebilmesi için doğrusal olmayan üç adet nokta olması gerekmektedir. Bu sebeple üçgen çizilirken noktaların iki tanesi bir doğru üzerinde ve geri kalan bir tanesi de öteki doğru üzerinde bulunmalıdır. a doğrusu üzerinde 3 ve b doğrusu üzerinde 5 tane nokta yer aldığından sorunun çözümü için iki farklı alternatif dikkate alınmalıdır.

  • Birinci alternatifte a doğrusu üzerinden 1, b noktası üzerinden 2 noktanın seçildiği varsayılır. Buna göre yapılacak işlemde a doğrusu üzerinde yer alan 3 noktanın 1’li kombinasyonu ile b doğrusu üzerinde yer alan 5 noktanın 2’li kombinasyonu hesaplanır.

C (3,1) + C (5,1) = 3 . 10 = 30 farklı şekilde üçgen çizilebilir.

  • İkinci alternatifte ise a doğrusu üzerinden 2, b doğrusu üzerinden 1 noktanın seçildiği varsayılır. Bu şekilde yapılacak olan işlemde ise a doğrusu üzerinde yer alan 3 noktanın 2’li kombinasyonu ile b doğrusu üzerinde yer alan 5 noktanın 1’li kombinasyonu hesaplanır.

C (3,2) + C (5,1) = 3 . 5 = 15 farklı şekilde üçgen çizilebilir.

Birbirine paralel olan a doğrusu ile b doğrusu üzerinden seçilecek üç nokta ile toplamda 45 farklı üçgen çizilebilir.

Kombinasyon Hesaplama!