Logaritma Hesaplama | Sen iste o hesaplasın!

Logaritma Hesaplama

aR+ -{1} ve x R+ olmak üzere, ay = x olmak üzere

Yukarıdaki eşitlikte a değerini bulmak için kök alma, x değerini bulmak için kuvvet yani üs alma, y değerini bulmak içinde logaritma işlemi yapılır.

aR+-{1}, xR+ ve yR olmak üzere,
ay=x Û y=loga x’tir.
y sayısı , x sayısının a tabanına göre logaritmasıdır.

Daha basit bir anlatımla logaritma üstel işlevlerin tersi olan işlemdir. Matematikte büyük çarpma ve bölmeleri; kök ve kuvvet alma işlemlerini daha kolay yapabilmek için kullanılan bir yoldur. Üstlü olarak artan sayılarla işlem yaparken ortaya çıkan zorluktan kurtulmak için rakamların kendisini değil belli bir tabana göre logaritması kullanılır. Logaritma konusundan, her yıl üniversite sınavının 2. basamağı olan LYS’de, en az 3 soru çıkmaktadır. Logaritma konusu Lise 3 yani 11. sınıftan itibaren öğretilmeye başlanır.

Logaritmik fonksiyonlar;

– ‘a’ sayısı 1 sayısından farklı olmak üzere bir pozitif sayıdır. Tabanı a olan logaritmalı denklem

1. logaf(x) = b ise , f(x) = a üzeri b

2. logaf(x) = logag(x) ise, f(x) = g(x) özellikleri kullanılarak çözülür.

Örneğin;

2 üzeri 5 = 32 eşitliğinde 5, 2 tabanında 32’nin logaritmasıdır. Yani 2’nin 32 sonucunu vermesi için 5. kuvvetine yükseltilmesi gerektiğini gösterir.

Daha basit bir örnekle; 10000 sayısının 10 tabanına göre logaritması 4’tür. 10000, 10’un 4. kuvvetidir. 10 sayısının 10000 sayısını vermesi için 4. kuvvetine yükseltilmesi gerekir.

Logaritma’nın Tarihi

Logaritma konusu 16. yüzyılın sonu, 17 yüzyılın başlarında ortaya çıkmıştır.İskoç matematikçi Jhon Napier yaptığı hesaplamaları kolaylaştırmak için kemik parçalarıyla bir işlem tablosu oluşturmuştur. Kelimenin aslı ‘logos arithmosdur ve sayıların mantığı anlamına gelmektedir. Logaritma konusu kısa zamanda yaygınlaşmıştır. Çünkü bilim insanları, mimarlar, mühendisler ve hatta denizciler tarafından hemen benimsenmiş ve sıklıkla kullanılmıştır. Hesap cetvelleri ve logaritma tabloları oluşturulmuş bu şekilde işlemler giderek kolay bir hal almıştır. İşlemleri kolaylaştıran ve sıklıkla kullanılan özellik ise şudur;

log b tabanında (xy) = log b tabanında (x) + lg b tabanında (y)

Aslında logaritma konusunda aynı yıllarda Jhon Napier’den habersizce Joost Bürgi’de çalışmalar yapmaktaydı ama çalışmalarını sonuca ulaştıran Jhon Napier olmuştur.

Leonhard Euler logaritmanın üstel işlevlerle olan ilişkisini çözmüş ve 18. yüzyılda logaritmanın bugünkü yazım şeklini oluşturmuştur.

Gelenbevi İsmail Efendi de bu konuda çalışma yapan ilk Türk’tür. Matematik ve mantık üzerine önemli çalışmaları bulunan Gelenbevi İsmail Efendi ” Logaritma Risalesi” isimli bir eser yazmıştır. Bu risalede yazanlar, diğer bilim insanlarına hesap yapabilen bir makine yapabilmeleri konusunda fikir vermiştir. Logaritma’nın ülkemize gelişini ve kullanılışına dair en büyük açıklama Halifezade İsmail Efendi tarafından 1765 yılında yayınlanan Tuhfe-i Behic-i Rasini Tercüme-i Zic-i Kasini adlı yazma eserde yazmaktadır. Bu eserde logaritma konusunun J. Cassini’nin eserleri üzerinden yaptığımız çevirilerle ülkemize geldiğini ve kullanılmaya başlandığı yazılmıştır.

Logaritma Özellikleri

  • Her tabana göre 1’in logaritması 0’dır.
  • 1’den farklı her a pozitif sayısının a tabanına göre logaritması 1’dir. (Logaritma a tabanında a = 1)
  • logax = b ise x = abloga(A.B) = logaA+logaB
  • loga(A/B) = logaA−logaB
  • logaAn = n.logaA
  • log1/ax = −logax
  • logab.logbc.logcd = logad
  • logab = 1/logba veya logab.logba = 1

Özel Tabanlar ve Kullanım Alanları

Temelde en çok kullanılan 3 ane taban vardır. İkilik Logaritma, Doğal Logaritma, Adi (Bayağı) Logaritma

a) İkilik Logaritma

Gösterimi: Ib(x)
Diğer Gösterimler: Id(x), log (x), Ig(x), log2(x)
Kullanıldığı Alanlar: Bilgisayar, Bilgi Kuramı (uygulamalı matematik ve elektrik mühendisliği), Matematik, Müzik Kuramı (müziğin yapı taşlarıyla incelenmesi, sınıflandırılması ve bestelenmesi ile ilgili bir bilim dalı)

b) Doğal Logaritma

Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna ‘doğal logaritma fonksiyonu’ denir. e, 2,71828… şeklinde alınır.
Gösterimi: ln(x)
Kullanım Alanları: Matematik, fizik, kimya, istatistik ve ekonomi

3) Onluk Logaritma (Adi / Bayağı Logaritma)

Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna ‘adi (bayağı) logaritma fonksiyonu’ denir. Logaritma’nın tabanı yazılmamışsa tabanı 10 kabul edilir.
Gösterimi: lg(x)
Diğer Gösterimleri: log(x), log10(x). (Log(x) mühendislik, biyoloji ve astronomi alanlarında kullanılır.)
Kullanım Alanları: Mühendisliğin bazı dalları (örneğin ses mühendisliği), logaritma tabloları, hesap makinesi, spektroskopi
Bir sayının 10 tabanına göre logaritması bir ondalık sayı belirtir. Bu ondalık sayının tam kısmına ‘karakteristik’, ondalık kısmına ise ‘mantis’ denir.

Örneğin;
loga = 23,456 ifadesinde karakteristik yani tam kısım 23, mantis yani ondalık kısım 0,456’dır.
Mantis hiçbir zaman negatif olamaz. Negatif olamayacağı için ifadeye +1 ya da -1 eklenir.

  • 1 den büyük sayıların logaritmasının karakteristiği, bu sayının tam kısmının basamak sayısından 1 eksiktir.
  • 0 ile 1 arasındaki bir sayının logaritmasının karakteristiği, bu sayının tam kısmının basamak sayısınından bir eksiktir.
  • Herhangi bir sayının logaritmasının karakteristiği negatif ise, karakteristik pozitif yazılır ve üzerine (-) işareti koyulur.
  • 1’den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.
  • 1’den küçük pozitif sayıların 10 tabanına göre logaritması negatiftir.

Logaritmalı Eşitsizlikler

a) a > 1 iken,
logaf(x) > c ise, f8x) < a üzeri c’dir.

b) a > 1 iken,
logaf(x) < c ise, 0 < f(x) < a üzeri c’dir.

c) 0 < a < 1 iken,
logaf(x) < c ise, f(x) > a üzeri c’dir.

Logaritma’nın Günlük Yaşamda Kullanılması

  • Kimya: Kimyasal tepkimelerde hız konusunun ileri boyutlarında, denge sabitini bulmak için kullanılır. Yani asit-baz dengesi, pH değeri ve pOH değerleri bulunurken kullanılır çünkü pH’ın değerleri logaritmik değerlerdir.
  • Denizcilik: Çıkış ve varış noktalarının, yani matematiksel konumu verilmiş iki noktanın net uzaklığını bulmak için kullanılır.
  • Askerlik: Top atışlarında ya da atış talimlerinde atışın ulaşacağı noktayı hesap etmekte kullanılır.
  • Ses: Ses düzeyinin kaç desibel olduğunu bumak için de logaritma kullanılır.
  • Astronomi
  • Optik
  • İstatistik: Nüfus artış oranı tahminlerinde kullanılır.
  • Deprem şiddetini hesaplamada,
  • Bankacılıkta bileşik faiz hesaplamada,
  • Bilgisayar programcılığında,
  • Fizikokimyada
  • İşletme alanında logaritma kullanılır.

Logaritma Örnek Soruları

A)Üstel Fonksiyon ile İlgili Örnek Sorular

  • 5 üzeri x = 7 olduğuna göre x = ?
    log 5 tabanda x’ e eşit olduğundan logaritma 5 tabanında 7 olur.
  • 3.2 üzeri x = 8 olduğuna göre x = ?

Öncelikle bu denklemin her iki tarafı da 3’e bölünür.
2 üzeri x = 8/3 olur.
Bunu logaritmalı denkleme çevirdiğimizde;
Log 2 tabanına göre 8/3 = x olue.

  • log x tabanına göre 8 = 3 olduğuna göre x = ?

x üzeri 3 = 8 eşitliğinden, hangi sayının küpünün 8 olduğunu bulmamız gerekir.
Buna göre x = 2’dir.

B) Onluk Logaritma Fonksiyonu İle İlgili Örnek Sorular

  • x = log100 olduğun göre x = ?
    log100 = log 10 tabanına gör 100 demektir. Bu da
    log 10 tabanına göre 10’un karesine eşittir.
    2 kat sayı olarak başa geçer : 2.log 10 tabanına göre 10 olur.
    10 tabanına göre 10 = 1 olduğundan cevap 2’dir.
  • x = log0,1 olduğuna göre x = ?
    x = log0,1, x = log 10 üzeri -1 demektir.
    log 10 tabanına göre 10 üzeri -1 olur.
    -1 kat sayı olarak başa geçer. 10 tabanına göre 10 1 olduğuna göre cevap -1’dir.
  • log2 = a olduğuna göre, log80 = ?
    log80, log(8.10) şeklinde yazılabilir.
    Çarpımın logaritması, logaritmaların toplamı olduğundan;
    log8 + log10
    log 10 tabanına göre 10 1 olur. log8 ise log2 üzeri 3 şeklinde yazıabilir.
    log2 üzeri 3 + 1 olur. 3 katsayı olarak başa geçer.
    = 3log2+1 olur. log2 = a olarak verildiğine göre;
    Cevap: 3a + 1 olur.

C) Doğal Logaritma Fonksiyonu ile İlgili Sorular

  • x = ln1 + lne üzeri 3 olduğuna göre x = ?

ln1 , hangi tabana göre alınırsa alınsın 0’a eşittir.
lne üzeri 3, log e tabanında e üzeri 3’e eşittir. 3 kat sayı olarak başa geçer.
x = 0 + 3.log e tabanına göre e. e tabanına göre e de 1′ e eşit olduğundan;
lne = 1 ve ln! = 0’dır.

Logaritma Hesaplama!