Matris Determinant Hesaplama | Sen iste o hesaplasın!

Matris Determinant Hesaplama

Matris, diğer adıyla dizey, yukarıdaki görseldeki gibi bir sayılar tablosudur. Bu tablo toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarları gösterir. Kullanıldığı alanlar;

  • Doğrusal denklem sistemlerini tanımlamak,
  • Doğrusal dönüşümlerin çarpanlarını bulmak,
  • İki parametreye bağlı verilerin kaydedilmesi.

Matris’in yatay kısmına satır, dikey kısmına sütun denir. Bu satır ve sütunlardaki sayılar toplanabilir, çarpılabilir, çıkarılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir. Bu tablolar köşeli parantez ya da köşesiz yay ayraç içinde gösterilebilir.

Matris’in içindeki her bir sayıya eleman denir.

Matris’in m kadar satırı, n kadar sütunu vardır. m x n şeklinde gösterilir. Biz de bu yazımızda matris determinant hesaplama konusunu işleyeceğiz.

Matris Çeşitleri

  1. Sıfır Matris: Hem satır hem de sütunlarındaki tüm elemanları sıfır olan matrise ‘Sıfır Matris’ denir.
  2. Kare Matrisi: Satır ve sütun sayısı birbirine eşit lan matrislere ‘Kare Matris’ denir.
  3. Birim Matris: Köşegeninin üzerindeki elemanların 1, diğer elemanların ise 0 olduğu matrise denir. Kare matrisin bir çeşididir. Satır ve sütun sayısı n yani eşit olan bir birim matrisi göstermek için ”ln” ifadesi kullanılır.
  4. Satır Matris: Sadece tek bir satırdan oluşan matrislere ‘Satır Matris’ denir.
  5. Sütun Matris: Sadece tek bir sütundan oluşan matrislere ‘Sütun Matris’ denir

*** Bir matrisin satır sayısı ya da sütun sayısı 1 ise yani satır matris ve ya sütun matris ise bu vektöre yöney, vektör ya da öklid (euclid) tipi vektör denir.

Matrislerin Eşitliği

Türleri ve karşılıklı elemanları aynı matrisler birbirine eşittir. Eşit iki matrisin türleri ve karşılıklı elemanları birbirine eşittir şeklinde tam tersi bir sistem de doğrudur.

Matris’in Devriği (Transpozu)

Bir matrisin transpozu yani devriği o matrisin satırları ve sütunlarının yerleri değiştirilerek elde edilir. Yani satırlar sütun, sütunlar satır haline getirilir.

Matris’in Reel Sayı İle Çarpımı

Bir matris herhangi bir reel sayı ile çarpılmak istendiğinde o matrisin tüm elemanları çarpılmak istenen reel sayı ile tek tek çarpılır. Yani bir matris ‘a’ reel sayısı ile çarpılacak ise hem satırlardaki hem de sütunlardaki tüm elemanları ‘a’ ile çarpılır.

Matrislerde Toplama

İki matrisin toplanabilmesi için, toplanacak matrislerin aynı türden matrisler olması gerekir. Matris’in her satır ve sütunundaki elemanlar diğer matriste, kendilerine karşılık gelen elemanlarla toplanır.

Matrislerin Farkı

Matrislerde çıkarma işlemi yapabilmek içinde tıpkı, toplama işlemi yaparken olduğu gibi çıkarma işlemi yapılacak matrislerin aynı türden matrisler olması gerekmektedir. Yine aynı şekilde toplama işleminde olduğu gibi çıkarma işleminde de aynı indisli elemanlar arasında işlem yapılır.

İki Matris’in Çarpımı

Bu işlem iki matrisin çarpılıp ortaya yeni bir matrisin çıkarıldığı bir işlemdir. Herhangi iki matris arasında çarpma işlemi yapılmaz. Matris çarpımı yapmak için öncelikle hangi matrisin  ön çarpan matris, hangisinin art çarpan matrisi olduğunu belirlemek gerekir. Çünkü çarpmanın değişebilme özelliği, matrislerde geçerli değildir. Matris çarpımı yapabilmek için bir şart da ön çarpan matrisin sütun sayısı ile art çarpan matrisin satır sayısının birbirine eşit olması gerekmektedir. Yani A matrisi ‘4 x 5’  B matrisi ‘5 x 2’ ise çarpma işlemi mümkün olur.

Çarpma işlemi yaparken ilk önce (A x B için) ;

  • A’nın 1. satırındaki elemanlar ile, B’nin 1. sütunundaki elemanlar karşılıklı çarpılır ve toplanır.
  • A’nın 1. satırındaki elemanları ile B’nin ‘. sütunundaki elemanlar çarpılır. Böylece çarpım matrisinden a12 elemanı bulunur.
  • Daha sonra bu çarpım a matrisinin bütün satırları e B matrisinin bütün sütunları ile çarpılır, yeni matris oluşturulana kadar çarpma işlemine devam edilir. Oluşan matris ‘mx’ şeklinde ifade edilir.

Matrislerde 4 İşlem ile İlgili Bazı Özellikler

  1. A + B = B + A (Toplama işleminin değişme özelliği, matrislerde toplama işlemi için de geçerlidir.)
  2. A + (B + C) = (A + B) + C (Matrislerin de birleşme özelliği vardır.
  3. A + O = O + A = A (Sıfır, matrislerde toplama işleminde de etkisiz elemandır.)
  4. A + (-A) = O (A matrisinin toplamaya göre tersi -A matrisidir.)
  5. (A + B) üzeri T = A üzeri T + B üzeri T
  6. (A – B) üzeri T = A üzeri T – B üzeri T
  7. k x ( A + B) = k x A + k x V (k elemanıdır R)
  8. k x ( A – B) = k x A – k x B  (k elemanıdır R)
  9. (k + p) x A = k x A + p x A (k, p elemanıdır R)
  10. k x (p x A) = (k x p) x A (k, p elemanıdır R)

Matris’in Determinant’ı

Kare matrislerle ilgili bir terimdir. Kare matrisleri bir sayıya eşitleyen fonksiyonlara denir.

B matrisinin determinantı detB ya da IBI biçiminde gösterilir. IBI gösterimi mutlak değer gösterimine benzemektedir fakat hiçbir ilgisi yoktur. Sıfır ve ya negatif bir sayı da olabilir.

Sarrus Kuralı

3 x 3 biçimindeki matrislerin determinantını hesaplamak için kullanılan pratik bir yoldur.

  • İlk iki satır aynı şekilde alta tekrar yazılır.
  • Köşegen oluşturan elemanlar çarpılır ve sonuç sağa yazılır.
  • Köşegenin bir altındaki elemanlar çarpılır, bu çarpımın sonucu da sağa yazılır.
  • Daha sonra ilk sütunun son satırındaki eleman, 2. sütunun ilk satırındaki eleman, 3. sütunun 2. satırındaki sayılar da aynı şekilde çarpılarak sonuç sağa yazılır.
  • Sağa yazılan 3 çarpım toplanır.
  • Diğer köşegenin elemanları da çarpılır, sonuç bu defa sol tarafa yazılır.
  • Diğer köşegenin elemanların bir altındaki elemanlar çarpılıp bu sonuç da sola yazılır.
  • Daha sonra 3. sütunun 2. satırındaki eleman, 2. sütunun son satırındaki eleman ve ilk sütunun ilk satırındaki eleman çarpılıp sonuç sol tarafa yazılır.
  • Sol tarafa yazılan 3 sayı da toplanır.
  • Son olarak sola yazılan sayıların toplamı ile sağa yazılan sayıların toplamından çıkarılır ve determinant bulunur.

Minör, İşaretli Minör ve Kofaktör

Bir kare matrisin i. satırı ve j. sütunu çıkarıldıktan sonra geriye kalan matrisin determinantına ai elemanın minörü denir.

Aij = (-1) üzeri i + j Mij şeklinde gösterilen ifadeye ise ai elemanının kofaktörü ve ya işaretli minör denir.

Determinantın Bazı Özellikleri

  • Bir satırı ya da bir sütunundaki tüm elemanları sınıf olan matrislerin determinantı ‘0’dır.
  • Herhangi iki satır ya da iki sütunun elemanları eşit olan matrisin de determinantı ‘0’dır.
  • Herhangi iki satırı ya da sütununun elemanları orantılı lan matrisin determinantı da aynı şekilde ‘0’dır.
  • Herhangi iki satır ya da sütununun yerleri değiştirilen matirisin determinantının da işareti değişir.
  • Kare matrislerin determinantı ile transpozunun determinanları eşittir.
  • Kare matrislerin çarpımlarının determinantı, bu matrislerin determinantlarının çarpımına eşittir.
  • detA üzeri n = (detA) üzeri n
  • Bir matrisin çarpma işlemine göre tersinin determinantı, determinantının tersine eşittir.
  • Bir kare matrisin bir satır ve bir sütunundaki tüm elemanlar x ile çarpılırsa, ortaya çıkan matrisin determinantı ilk matrisin determinantının x ile çarpımına eşittir.
  • Bir matrisin herhangi bir satırı f ile çarpılıp diğer bir satıra eklenince ya da herhangi bir sütununu f ile çarpıp başka bir sütuna ekleyince determinantın değeri değişmez.
  • Sadece bir satır ya da bir sütunundaki elemanları farklı olan matrislerin determinantları toplamı, diğer satır ya da sütunları aynı olan ve fark farklı sütunların toplamı kadar olan yeni matrisin determinantına eşittir.

Ek Matris (Adjoint Matris)

Bir matrisin elemanları yerine o matrisin işaretli minötlerinin yani kofaktörlernin yazılıp transpozu yani devriği alınarak elde edilen matrise ‘Ek Matris’ adı verilir. Ek Matris’in gösteriş biçimi Ek(A)’dır.

Matris’in Tarihi

Matris kavramının çok uzun bir tarihi vardır. İlk matrisin kullanımını, kare matrisler ve determinant da dahil, M.Ö 300 ila M.Ö. 200’lü yıllar arasında yazılmış bir eserle (Jui Zhang Suan Shu – Matemetik Sanatında Dokuz Bölüm) ortaya çıkmıştır.Uzun yıllar bu kitap gün yüzüne çıkmamış. Matris kavramı 1963 yılında ‘Seki Kowa’ adlı Japon matematikçi ve 1693 yılında Alman matematikçi Leibniz tarafından yeniden kullanılmaya başlanmıştır. İlk kullanımından yaklaşık 2000 yıl sonra yeniden hayatımıza girse de bu tarihlerden sonra hızla yaygınlaşmıştır.

Matris Determinant Hesaplama!

POPÜLER HESAPLAMALAR

Sorry. No data so far.