Mod ve Medyan Hesaplama | Sen iste o hesaplasın!

Mod ve Medyan Hesaplama

Mod (Tepe Değeri) Nedir ve Nasıl Hesaplanır? Mod matematikte sıkça kullanılan bir değerdir. Tepe değeri olarak da bilinir. Bir sayı dizisi içindeki en çok tekrar eden sayıya mod ya da tepe değeri denir. Bu sayının tekrar miktarı da frekans olarak adlandırılır. Örnek vermek gerekirse,  2, 4, 5, 2, 1, 2, 1 sayı dizisinde en çok […] Daha Fazla Bilgi

Mod (Tepe Değeri) Nedir ve Nasıl Hesaplanır?

Mod matematikte sıkça kullanılan bir değerdir. Tepe değeri olarak da bilinir. Bir sayı dizisi içindeki en çok tekrar eden sayıya mod ya da tepe değeri denir. Bu sayının tekrar miktarı da frekans olarak adlandırılır.

Örnek vermek gerekirse,  2, 4, 5, 2, 1, 2, 1 sayı dizisinde en çok tekrar eden değer 2′ dir. 4 ve 5 sayıları birer kez yazılmışken, 1 sayısı 2 kez tekrar etmiş, 2 sayısı 3 kez tekrar etmiştir. Bu sebepten dolayı 2 bu sayısal dizinin modu yani tepe değeri olmaktadır. 2 sayısı 3 kez tekrar ettiği için frekansı da 3 olmaktadır.

Bazı durumlarda birden fazla sayı aynı oranda tekrar edebilir. Yani bir sayısal dizi serisinin 2 farklı modu ya da diğer adıyla tepe değeri olabilir.

Örneğin, 1, 7, 8, 2, 1, 2, 9, 1,  2, 6 sayı dizine bakalım. Burada 1 sayısı 3 kez, 2 sayısı 3 kez, 6, 7, 8, 9 sayıları birer kez tekrar etmiştir. Yani bu sayı dizisinin modu ya da diğer adıyla tepe değeri 1 ve 2 olmaktadır. 2 sayının mod olabileceğini söylemiştik. Burada da 1 ve 2 sayısı beraber üç kez tekrar ederek bu sayı dizisinin modu olmaktadır.

Konuyu başka örneklerle pekiştirelim.

5, 2, 2, 1, 6, 8, 9, 3, 1, 3 ,5, 1 serisine bakalım.

Bu seride 5 sayısı iki kere, 2 sayısı iki kere, 1 sayısı üç kere, 3 sayısı iki kere, 6, 8 ve 9 sayıları birer kere tekrar etmiştir. En çok tekrar eden sayıya baktığımızda üç kere tekrar eden sayı olan 1 bu serinin modu olmaktadır.

Bir başka sayı dizisine bakalım.

8, 5, 2, 3, 7, 1, 5, 1, 0, 9 serisine bakalım.

Bu sayı dizisinde 8, 2, 3, 7, 0 ve 9 sayıları birer kez tekrar etmiştir. 1 ve 5 sayıları ise ikişer kez tekrar etmiştir. Bu durumda bu serinin 2 modu vardır. 1 ve 5 bu sayısal verinin modu olmaktadır.

4, 8, 6, 4, 1, 0, 3, 1, 4, 6, 0, 1, 3, 0

Bu sayısal veride ise 3 farklı mod bulunmaktadır. 4, 1, 0 sayıları üçer kez tekrar etmiştir. 8 ve 3 sayıları birer kez, 6 sayısı 2 kez tekrar etmiştir. Bu durumda bu sayısal verinin tepe değerleri 4, 1 ve 0 olmaktadır.

Eğer bir sayı dizisinde hiç tekrar eden sayı yok ise, o zaman bu sayı dizisinin tekrar eden değeri yani modu bulunmamaktadır deriz. Örneğin, 1, 3, 5, 9, 2 sayı dizisinde tekrar eden sayı bulunmamaktadır. O halde bu sayı dizisinde mod bulunmamaktadır.

Medyan (Ortanca) Nedir ve Nasıl Hesaplanır?

Medyan bir sayısal verideki ortanca değerdir. Bir sayı dizisindeki ortanca değeri bulmak için sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanır ve ortadaki değer medyan ya da ortanca değer olarak adlandırılır.

Örnek vermek gerekirse,

8, 9, 4, 3, 6, 1, 4, 1, 5, 1, 0 sayı dizisine bakalım. Bu sayı dizisinin medyanını hesaplayalım. Bu sayı dizisinin medyanını yani ortanca değerini hesaplamak için öncelikle bu seriyi küçükten büyüğe doğru sıralamamız gerekir. Bu seriyi küçükten büyüğe sıralayalım. 0, 1, 1, 1, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 9 şeklinde sıralamış olmaktayız. Bu sayı dizisi 11 elemanlı bir sayı dizisidir. Bu sayının ortasındaki sayı bizim ortanca değerimiz olmaktadır. Bu da 6. Elemana denk gelir. Yani 6. Eleman olan 4 bizim ortanca değerimiz olmaktadır.

Bu örnekte 11 eleman olduğundan toplam eleman sayısı tek sayıdır. Tek sayılı elemana sahip dizi serilerinde medyanın sırasını bulmak için şu formülü kullanmaktayız.

Medyanın sırası= (Eleman sayısı+1)/2

Bu formülü verdiğimiz örneğe uygulayalım. Örneğimizde eleman sayısı 11di. Formülde yerime koyduğumuzda (11+1)/2=6 yapmaktadır. Yani 6. Eleman bizim medyanımız olmakta, bu da 4 sayısıdır.

Şimdi de eleman sayısı çift olduğunda nasıl hesaplama yaparız ona bakalım. Medyanı bulmak için ortadaki değere baktığımızı söylemiştik. Çift elemanlı sayı dizilerinde ise ortada 2 sayı karşımıza çıkmaktadır. Bu durumda ortadaki 2 sayının ortalaması bize medyanı vermektedir.

Örnek verecek olursak;

5, 7, 8, 9, 3, 6, 5, 8, 1, 2 sayı dizisine bakalım. Medyanı bulmak için öncelikle bu sayısal diziyi küçükten büyüğe sıralamamız gerekmektedir. Bu sayı dizisini küçükten büyüğe sıralayalım.

1, 2, 3, 3, 4, 6, 7, 8, 8, 9 küçükten büyüğe sıraladığımızda ortadaki değerler 4 ve 6 sayıları olmaktadır. Bu sayının ortalamasını aldığımızda 4+6=10  10/2=5 olmaktadır. Yani bu sayısal verinin medyanı 5tir.

Eleman sayısı çift olan sayı dizilerinin medyanını kolay yoldan hesaplamak için yine aynı formülü kullanabiliriz.

Medyanın sırası= (Eleman sayısı+1)/2 demiştik. Yukarıdaki örnekte eleman sayımız bir çift sayı olan 10du. Formülde yerine koyduğumuzda 11/2=5.5 yapmaktadır. Görüldüğü üzere bir tam sayı çıkmadığı için 5 ve 6. Sıradaki sayılar bizim medyanımızı vermektedir. Yani 5. ve 6. Sıradaki sayılar olan 4 ve 6 sayılarının ortalaması bize medyanı verir. Bu da 4+6=10 10/2=5 yapmakta ve medyanımız 5 sayısı olmaktadır.

Şimdi örneklerle mod ve medyan değerlerini bulmaya çalışalım.

5, 2, 1, 9, 5, 7, 1, 8, 5, 0, 8, 4, 8, 1, 0, 5

Sayı dizisine bakalım. Öncelikle mod ve medyanı kolayca hesaplamak için bu seriyi küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

0, 0, 1, 1, 1, 2, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 9

0 sayısı iki kere, 1 sayısı üç kere, 2 ve 4 sayısı bir kere, 5 sayısı dört kere, 7 sayısı bir kere, 8 sayısı üç kere ve 9 sayısı bir kere tekrar etmiştir. Bu durumda bu serinin modu en çok tekrar eden yani dört kere tekrar eden 5 sayısıdır.

Modu hesapladık ve 5 olarak bulduk. Şimdi medyanı bulalım. Formülümüzü hatırlayalım.

Medyan sırası=(Eleman sayısı+1)/2 şeklindeydi. Bu sayı dizisinin eleman sayısı 16dır. Formülde yerine koyduğumuzda medyan sırasını 17/2’den 8.5 olarak buluruz. Yani 8 ve 9. Sıradaki sayılara bakacağız. 8 ve 9. Sıradaki sayılar 5tir. 5+5= 10 ve 10/2’den medyanımız 5 olarak bulunur.

Bir başka örnekle mod ve medyan değerlerini hesaplayalım.

3, 8, 9, 6, 7, 1, 8, 9, 0, 7, 6, 9, 1, sayı dizisine bakalım. Öncelikle bu seriyi küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

0, 1, 1, 3, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9

Önce mod değerini bulalım.

Bu seride, 0 sayısı bir kere, 1 sayısı iki kere, 3 sayısı bir kere, 6, 7 ve 8 sayıları ikişer kere, 9 sayısı ise üç kere tekrar etmiştir. O halde bu sayı dizisinin modu 9dur.

Şimdi de bu serinin medyanını bulalım. Bu serinin eleman sayısı 13tür. Formülü uyguladığımızda, 13+1=14 14/2=7 bize medyanın sırasını vermektedir. 7 eleman yani 7 sayısı bu serinin medyanı olmaktadır.

Bir başka örneğe bakalım.

4, 9, 8, 4, 8, 6, 1, 5

Bu sayı dizisinin mod ve medyan değerlerini hesaplayalım. Öncelikle bu seriyi küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

Bu seriyi küçükten büyüğe doğru sıraladığımızda;

1, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 9 şeklinde bir seri elde etmekteyiz.

Önce mod değerini bulalım. 1 sayısı bir kez, 4 sayısı iki kez, 5 ve 6 sayıları birer kez, 8 sayısı iki kez ve 9 sayısı bir kez tekrar etmiştir. Bu durumda bu serinin 2 farklı modu bulunmaktadır. İkişer kez tekrar eden 4 ve 8 sayıları bu serinin tepe değeri yani modu olmaktadır.

Şimdi de medyan yani ortanca değeri bulalım. Bu serinin eleman sayısı 8dir. Formülü uyguladığımızda 8+1=9 9/2= 4.5 olmaktadır. 4.5 bize medyanın sırasını vermektedir ancak 4.5 bir tam sayı değildir. Bu sebeple bize medyan değerini yani ortanca değeri verecek olan elemanlar 4. ve 5. sıradaki elemanlardır. 4. eleman 5 sayısı, 5. elemanda 6 sayısıdır. O halde bu serinin medyan değerini verecek olan sayılar 5 ve 6dır. Bu iki sayının ortalamasını aldığımızda ise 5+6=11 ve 11/2= 5.5 yapmaktadır. Yani medyan bir diğer adıyla ortanca değeri bu seride 5.5 olmaktadır.

Son olarak bir örnek daha inceleyelim.

5, 0, 8, 9, 3, 2, 3 sayı dizisine bakalım. Diğer örneklerde olduğu gibi bu örnekte de ilk olarak seriyi küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

0, 2, 3, 3, 5, 8, 9

İlk olarak mod değerini yani tepe değerini hesaplayalım. Bu seride 0 sayısı bir kez, 2  sayısı bir kez, 3 sayısı iki kez, 5, 8 ve 9 sayıları ise birer kez tekrar etmiştir. O halde bu serinin modu iki kez tekrar ederek en çok tekrar etmiş olan 3 sayısı olmaktadır.

Sıra medyan değerini bulmakta. Formülümüzü uygulayalım. Bu serinin eleman sayısı 7 dir. 7+1=8 ve 8/2=4. Yani 4. eleman bize medyan  değeri vermektedir. Seride 4. elemana baktığımızda 4. eleman 3 sayısıdır. Bu durumda bu serinin medyanı 3tür.

O halde bu sayı dizisinin modu da medyanı da 3 sayısı olmaktadır.

Mod ve Medyan Hesaplama!