Mükemmel Sayı Hesaplama | Sen iste o hesaplasın!

Mükemmel Sayı Hesaplama

Sayının Kısa Tarihi

Sayılar insanlık tarihinde önemli yere sahip olan bir konudur. Sözlü saymanın ne zaman ortaya çıktığı bilinmiyor. Fakat insanlar sayıları yazmaya başladıkları sırada henüz konuşmalarını yazamıyorlardı. Bu nedenle de tehlikeli durumları işaret yöntemini kullanarak belirtiyorlardı. Bununla birlikte birden fazla şeyden bahsedileceği zaman da yine basit simgeler kullanılıyordu. Bu tür simgelere milattan önce 30.000 yılında dahi rastlanmış olsa da yazının bulunması Milattan Önce 5.000’li yıllara dayanıyor.

Sayı sistemleri de işte Milattan önce 30.000 ve 25.000 dönemlerinde kemiklerin üzerinde atılan çentikler ile birlikte ortaya çıkmaya başlamıştır. Örneğin bu döneme ait olan bir kurt kemiğinde 5’erli gruplardan oluşan toplamda 55 çentiğe rastlanmıştır. Her bir çentik bir sayısını ifade ediyor ve anlatılmak istenen sayı da çentikler ile birlikte gösterilebiliyordu. Sayılar büyüdükçe art arda yazımlarda devam etti. İlerleyen yıllarda ise tarihin ilk rakamları, sahip olduğu çokluğa göre farklı nesneler ile nitelendirilmeye başlandı. Bunun için farklı boylarda ve pişmemiş toprak kullanılarak yapılan nesneler koyulma fikri ortaya atıldı. Buna göre nesnenin sahip olduğu boyut ve biçim onu bir sayı dizgesinin basamakları halinde göstermeye yetecektir. Örneğin yüzler basamağı için bir küre, onlar basamağı için bir bilye ve birler basamağı için bir çubuk belirlenmişti. Daha sonra ise bir topun içerine konulan nesnelerin simgeleştirilmesi düşüncesi ortaya çıktı. Böylece küçük bir koniyi küçük bir kertikle, bir bilyeyi küçük bir yuvarlak delik ile, büyük bir koniyi kalın bir kertikle ve bir küreyi bir daire ile betimlediler.

Daha sonra ise Mısır’da, Hindistan’da ve dünyanın dört bir yanında yaşanan bilimsel geçişmeler doğrultusunda sayılar da giderek kendisine yer bulmaya başladı. Yüzyılların birbirini kovalamasının ardından matematiğin önemi de giderek hayatın her bir köşesinde kabul edilmeye başlandı. Matematik, insanların dünyayı ve evreni anlayabilmek, günlük ihtiyaçlarını karşılayabilmek, ekonomik konuları düzenleyebilmek ve daha birçok önemli konu için gerekliliğini ispatladı. Bununla birlikte matematik bilimiyle ilgilenmeye başlayan kişi sayısı da giderek arttı. Bir gün işte bu tür bir uğraş sırasında ortaya mükemmel sayı çıktı. Şimdi sizlere mükemmel sayılardan ve mükemmel sayı hesaplama işlemlerinden bahsedecek ve matematiğin bir diğer güzide konusuna el atacağız.

Mükemmel Sayı Nedir?

Mükemmel sayı, tam sayılar ve bu konu ile ilgili olan tüm işlemleri inceleyin bilim dalı olan sayılar teorisi ve diğer bir adıyla aritmetikte, kendisi dışında tam bölenlerinin toplamı toplamı kedisine eşit olan sayıya verilen isimdir. Mükemmel sayıyı bir başka ifadeyle dile getirecek olursak, tüm pozitif tam bölenlerinin toplamının yarısına eşit ola sayıya mükemmel sayı denilmektedir. Bununla birlikte çift mükemmel sayılar da bu konu altında ön plana çıkmaktadır. Yine bir diğer konu tek mükemmel sayılar ile ilgilidir. Şimdi Öklid tarafından bulunmuş olan mükemmel sayı konusuna daha detaylı bir şekilde göz atalım.

Çift Mükemmel Sayılar

Öklid’in ilk dört mükemmel sayı üzerine yapmış olduğu araştırmalarda p ve [(2^p)-1] sayıları asal sayı olmak şartıyla bir formül tanımlamayı başarmıştır. Bu formül şu şekildedir; (2^p-1) çarpı [(2^p)-1]. Buna göre belirlenmiş olan ilk dört mükemmel sayı aşağıdaki gibidir.

Formül üzerinden yapılan işlemler ile birlikte de görebileceğiniz gibi çift mükemmel sayılara ulaşmak oldukça kolay bir işlemdir. Çift mükemmel sayıların adının böyle olmasının sebebi de şu ana kadar hesap edilebilen tüm mükemmel sayıların çift sayı olmasıdır.

Tek Mükemmel Sayılar

Tek mükemmel sayıların varlığı ya da yokluğu konusunda söylenebilen kesin bir şey olmadığı gibi ortaya koyabilecek kesin bir kanıt da bulunmamaktadır.  Bununla birlikte tek mükemmel sayıların var olsa dahi oldukça az olduğu ya hiç var olmadığı düşünülmektedir. Bu bir yana mükemmel sayı formülüne göre tek sayı sonuca ulaşılması da matematik sisteminde kökünden bir değişiklik yapılmadığı sürece mümkün de gözükmemektedir. Bu bir yana ortaya çıkabilecek olan tek mükemmel sayıların, mükemmel sayı formülünde değişikliğe yol açması mümkündür.

Diğer Bir Özellik

Mükemmel sayıların sahip olduğu diğer bir özellik, herhangi bir mükemmel sayının, bir haricinde diğer çarpanlarının 1 bölü şeklinde yazılması ile birlikte ulaşılacak olan toplamın 1 sayısına eşit olmasıdır. Şimdi bunu birkaç örnek üzerinden gösterelim.

Sayı sisteminde yer alan ilk mükemmel sayı üzerinden mükemmel sayı hesaplama özelliklerinden birine bakalım.

Örneğin, 6 sayısının 1 haricindeki çarpanları 2, 3 ve 6 şeklindedir. Bu sayıları bir bölü şeklinde yazacak olursak, 1/2, 1/3 ve 1/6 şeklinde yazılacaktır. Bilindiği üzere kesirli sayıların birbiriyle toplanabilmesi için paydalarının eşit olması gerekmektedir. 1/2, 1/3 ve 1/6 sayılarının paydalarını eşitlemek istersek, 1/2 sayını 3 ile çarparken, 1/3 sayısını da 2 ile çarparız. Böylece tüm sayıların paydası eşit hale gelir. Bu işlemin ardından toplama işleminin yapılması gerekmektedir. 3/6+2/6+1/6 işleminin sonucunda da 1 sayısına ulaşılacağı görülmektedir.

Sayı sisteminde yer alan ikinci mükemmel sayı olan 28 sayısı üzerinden bu özelliği bir kez daha ele alalım. 28 sayısının 1 sayısı haricindeki çarpanları, 2,4,7,14 ve 28’dir. Bu durumda biraz öne anlatmış olduğumuz işlemlere göre bu sayıları bir bölü şeklinde yazar ve daha sonra da paydalarını eşitlersek ortaya (14+7+4+2+1)/28 sayısı çıkar. Bu işlemin sonucu da 28/28’den 1’dir.

Mükemmel Sayı Hesaplama Örnekleri

Mükemmel sayı hesaplama konusunda birkaç örnek vermemiz mümkündür. Yazımızın orta kısmında göstermiş olduğumuz mükemmel sayı formülü üzerinden yapabileceğiniz basit hesaplamalar ile birlikte mükemmel sayı hesaplama işlemlerini gerçekleştirmeniz mümkündür. Formülün ispatını yapabilmek adına birkaç basit örnek göstermemiz de konunun iyice idrak edilebilmesi açısından önemli olacaktır. Öyleyse sayı sisteminde yer alan ilk mükemmel sayıya bir göz atalım.

6 sayısının çarpanları 1,2,3 ve 6 şeklindedir. Fakat mükemmel sayının açıklamasını yaparken de söylediğimiz gibi sayının kendisi mükemmel sayı hesaplama işleminden mahrum bırakılacaktır. Geriye kalan çarpanların toplanması ile birlikte 6 sayısının mükemmel bir sayı olduğunu kolaylıkla görebiliriz. Zira 1, 2 ve 3 sayılarının toplamı 6 sayısını verecektir.

Biraz önce yapmış olduğumuz mükemmel sayı hesaplama örneğini, mükemmel sayı olarak bilinen 2. sayıyla devam ettirelim. 28 sayısının 28 haricindeki çarpanları olan 1,2,4,7 ve 14 şeklindedir. Bu sayıların toplamı da 28 sayısını verir.

Şimdi son olarak herhangi bir sayının mükemmel sayı olup olmadığına bir göz atalım. Bu deneme yanılma işleminde kullanacağımız sayı ise 24 sayısı olsun. 24 sayısının çarpanları, 1,2,3,4,6,8,12 ve 24’tür. 24 bu işlemin dışında bırakılacaktır. Geriye kalan sayıların toplamı ise,

1+2+4+6+8+12 = 33 şeklindedir. 33 sayısı 24 sayısına eşit olmadığı için bu sayının mükemmel bir sayı olmadığını da anlamış oluruz.

Mükemmel Sayı Hesaplama!