Ortak Bölenlerin En Büyüğü (OBEB) Hesaplama

EBOB ya da OBEB olarak bilinen ortak bölenlerin en büyüğü ya da en büyük ortak bölen, TEOG sınavından YGS’ye, KPSS’ye kadar birçok önemli sınavda karşımıza çıkabiliyor. Peki nedir bu OBEB? OBEB nasıl hesaplanır? Ortak Bölenlerin En Büyüğü – OBEB nedir? OBEB’in açılımı ortak bölenlerin en büyüğü şeklindedir. OBEB, verilen sayıların tümünü tam bölen en büyük […] Daha Fazla Bilgi

EBOB ya da OBEB olarak bilinen ortak bölenlerin en büyüğü ya da en büyük ortak bölen, TEOG sınavından YGS’ye, KPSS’ye kadar birçok önemli sınavda karşımıza çıkabiliyor. Peki nedir bu OBEB? OBEB nasıl hesaplanır?

Ortak Bölenlerin En Büyüğü – OBEB nedir?

OBEB’in açılımı ortak bölenlerin en büyüğü şeklindedir. OBEB, verilen sayıların tümünü tam bölen en büyük sayıdır. Bu sayı için verilen değerlerin OBEB’i denir.

OBEB ve EBOB aynı mıdır?

Evet, OBEB ve EBOB aynıdır. Sadece kelimelerin sıralaması farklı olduğu için iki farklı kısaltma söz konusu olmuştur. Yukarıda da vurguladığımız gibi OBEB; ortak bölenlerin en büyüğü şeklinde açılırken EBOB en büyük ortak bölen şeklinde bir açılıma sahiptir.

En Büyük Ortak Bölen / Ortak Bölenlerin En Büyüğünü (OBEB) Hesaplama

OBEB hesaplama yapılırken şunlara dikkat edilmelidir:

Eğer ki verilen sayılar aralarında asal ise bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü yani OBEB’i her zaman 1’dir.  Yani, a ile b değerlerinin aralarında asal ise (a , b)OBEB = 1 şeklinde ifade edilir.

Diğer taraftan söz konusu olan ikiden daha çok sayıysa, en az iki tane sayının aralarında asal olması da en büyük ortak bölenin yani EBOB’un 1 olması için yeterlidir. Diyelim ki x, y, z ve t sayılarından y ve x aralarında asal. Diğer sayıların durumuna bakmaksızın şunu diyebiliriz:

(x, y, z, t)EBOB = 1’dir.

Ardışık iki sayı için OBEB bulunması isteniyorsa, arka arkaya gelen iki sayının OBEB’i her zaman birdir.

Örnek OBEB hesaplamaları

Birinci örnek: 30, 42 ve 18 sayılarının OBEB’ini bulalım.

Çözüm : Üç sayının da ortak bölenleri 2 ve 3’tür.

Açılım yapmak gerekirse, 18 = 2 X 3 X 3

30 = 2 X 3 X 5

42 = 2 X 3 X 6

Baktığımız zaman ortak olan sayılar 2 ve 3’tür. En büyük ortak bölen de doğal olarak 2 X 3 işleminden elde edilen 6 sayısıdır.

İkinci örnek: 100 ve 120 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğünü yani OBEB’ini bulalım.

100 = 2 X 2 X 5 X 5

120 = 2 X 2 X 2 X 3 X 5

100 ile 125’in ortak çarpanlarına baktığımız zaman iki tane 2 ve bir tane de 5 görmekteyiz. Bu durumda 2 X 2 X 5 işleminden iki sayının en büyük ortak böleni yani EBOB’u 20’dir diyebiliriz.

Üçüncü örnek: 6, 15 ve 29 sayılarının en büyük ortak bölenini yani EBOB’unu bulalım.

Yukarıda belirttiğimiz gibi ikiden fazla sayı verilmişse ve bu sayılardan en az ikisi aralarında asal durumda ise sayı grubunun en büyük ortak böleni 1’dir.

Bu örnekte 6 ile 29 da 15 ile 29 da aralarında asal olduğu için sayı grubunun EBOB’una 1 diyebiliriz.

OBEB ile Çözülebilecek Diğer Sorular

Şu tip soruların da OBEB yardımı ile çözülebilmesi mümkündür.

Örnek : 9 cm, 12 cm ve 15 cm boyutlarında bir dikdörtgenler prizması şeklindeki kutunun içine, hiç boş yer kalmayacak biçimde en büyük boyutlu küplerin yerleştirilmesi isteniyor. Kaç tane küp bu kutuya sığar?

Çözüm: Kutuya en büyük küpler yerleştirilmek istendiği için ortak bölenlerin en büyüğünü bulmamız yeterli olacaktır.

Yani 9’un, 12’nin ve 15’in en büyük ortak bölenini bulmamız gerekmektedir.

Çarpanlarına tek tek ayırırsak:

9 = 3 X 3

12 = 3 X 2 X 2

15 = 3 X 5

Bu üç sayının da tek ortak çarpanı 3’tür. Bu durumda en büyük ortak bölen 3 olmak durumundadır. Bulduğumuz 3 rakamı, şeklin içine yerleştireceğimiz küplerin bir kenarının uzunluğunu ifade etmektedir.

Kaç tane küp sığacağını öğrenmek için de kutunun hacmini küpün hacmine bölmemiz gerekmektedir.

Kutunun hacmi, 9 X 12 X 15 işleminden 1620 çıkmaktadır. 1620’yi de küpün hacmine bölmemiz gerekecektir. Küpün hacmi de 3 X 3 X 3 işleminden 27 çıkar ve 1620’yi 27’ye böldüğümüz zaman 60 sonucuna ulaşırız. O halde, bahis konusu olan kutunun içine 60 tane küp sığdırmak mümkündür.

OBEB hesaplayabilmek için ve bölme işlemlerini daha kolay halledebilmek için ayrıca tam bölünebilme kurallarına da dikkat etmek gerekir;

Tam Bölünebilme Kuralları

Bir sayının, bir sayıya kalansız bölünmesini, tam olarak bölünmesini sağlayan kurallardır.

2 ile bölünebilme şartı

Söz konusu sayının birler basamağı incelenir. Birler basamağındaki sayı çift ise yani 0, 2, 4, 6 ya da 8’den herhangi biri ise bu sayı 2’ye tam bölünür.

Örneğin, 56894 sayısının birler basamağında 4 vardır ve 4 çift bir rakam olduğu için bu sayı 2’ye kalansız olarak bölünür.

Ama 59743 sayısının birler basamağında 3 vardır ve 3 çift bir sayı değil de tek bir sayı olduğu için bu sayı 2’ye kalansız bölünemez.

3 ile bölünebilme şartı

Bir tam sayının rakamlarının toplamının üçe bölümü sıfır çıkıyorsa bu sayı üçe tam bölünür. Diğer bir deyişle, bir tam sayının tüm rakamlarının toplamı 3’ün katı çıkıyorsa bu tam sayı üçe kalansız olarak bölünebilir.

Örneğin, 4278 sayısını inceleyelim. 4278’te 4, 2, 7 ve 8 rakamları bulunuyor. Bu rakamları topladığımızda 21 sayısına ulaşıyoruz. 21 sayısı, 3 rakamının tam katıdır ve 3’e kalansız olarak bölünebilir. Bu durumda 4278’in de üçe kalansız olarak bölündüğü söylenebilir.

4 ile bölünebilme şartı

Söz konusu sayının son iki basamağını incelemek yeterlidir. Bir tam sayının son iki sayısı, 4’ün katıysa yani 4’e tam bölünebiliyorsa tam sayı da 4’e kalansız olarak bölünebilir.

Mesela,beş haneli 23456 tam sayısını ele alalım. Bu sayının son iki hanesi 56’dır. 56 da 4’e kalansız olarak bölünebilir. Bu durumda 23456 sayısını 4’e bölmeye gerek kalmadan 4’e tam bölünebildiğini söylemek mümkündür.

5 ile bölünebilme şartı

Bir tam sayının beş ile bölünebilmesi için bu tam sayının son hanesine yani birler basamağına bakılır. Birler basamağındaki değer 0 ya da 5 ise, tam sayının beşe kalansız bölündüğü rahatlıkla söylenebilir.

Örneğin 3487645 sayısının birler basamağında 5 yer aldığı için bu sayının 5 ile tam bölünebildiğini söylemek mümkündür.

6 ile bölünebilme şartı

Bir tam sayının altı ile kalansız olarak bölünebilmesi için hem iki ile hem de üç ile kalansız bölünmesi yeterlidir. Ek bir hesaplamaya gerek kalmaksızın hem ikinin hem de üçün katı olan bütün sayılar 6’ya tam bölünür.

8 ile bölünebilme şartı

Söz konusu tam sayının son üç rakamı incelenir. Son üç hane, 8’e tam bölünebiliyorsa sayının tamamı da 8’e kalansız olarak bölünebilir.

Örneğin, 459412880 sayısının son üç hanesinde 880 yer almaktadır. 880 de 8’e tam olarak bölünebildiği için örnekteki sayının 8’e kalansız bölünmesi gayet mümkündür.

9 ile bölünebilme şartı

Sayıların toplamı dokuzun herhangi bir katına eşit olan bütün tam sayılar dokuz ile kalansız olarak bölünebilir. Örneğin, 36441 sayısının rakamları toplamı 18’dir. 18 sayısı 9 rakamının bir katı olduğu için 36441’in 9’a kalansız olarak bölünebileceğini söylemek mümkündür.

10 ile bölünebilme şartı

Birler basamağında 0 olan bütün tam sayılar 10 ile kalansız olarak bölünebilir.

25 ile bölünebilme şartı

Söz konusu sayının son iki basamağı incelenmelidir. Eğer ki tam sayının son iki basamağında 00, 25, 50 ya da 75 yer alıyorsa bu sayı 25 ile kalansız olarak bölünür

Y ile bölünebilme şartı

Y sayısının aralarında asal a ve b’nin çarpımına eşit olduğunu düşünelim. Yani a X b = Y olsun. Bir sayının Y ile kalansız bölünebilmesi için o sayının hem a hem de b ile bölünmesi yeterli olacaktır.

Örneğin, 12 sayısını ele alalım. 12, aralarında asal olan 3 ve 4’ün çarpımına eşittir. Bir sayının 12’ye bölünmesi için de hem 3’e hem de 4’e bölünmesi yeterlidir.

OBEB zaman zaman OKEK ile karıştırılabiliyor. Doğal olarak OBEB’e eş olan EBOB da yer yer EKOK ile karıştırılabiliyor. Fakat OBEB ve EBOB aynı şeyler olmakla birlikte en büyük ortak böleni ifade etmektedir, OKEK ile EKOK da aynı şeyler olmakla birlikte en küçük ortak kat anlamına gelmektedir.

Ortak Bölenlerin En Büyüğü (OBEB) Hesaplama!