Ortak Katların En Küçüğü (OKEK) Hesaplama | Sen iste o hesaplasın!

Ortak Katların En Küçüğü (OKEK) Hesaplama

Ortak katların en küçüğü (OKEK) hesaplama konusu TEOG’dan YGS’ye, LYS’den KPSS’ye kadar birçok sınavda karşımıza çıkma ihtimali son derece yüksek olan, matematiğin temel konularından bir tanesidir.  Asal çarpanlara ayırma metoduna dayanan OKEK hesaplama, ortak katların en büyüğü anlamına en gelen OBEB ile birlikte anlatılır.  Bu yazıda okek nasıl hesaplanır, okek soruları, obeb okek formülleri, obeb okek problemleri, ebob hesaplama gibi başlıklar ile birlikte konuyu daha derin bir şekilde işleyeceğiz.

Ortak Katların En Küçüğünü (OKEK) Hesaplama İşlemi

Okek, iki ya da daha fazla sayının (tam sayı olma koşulu ile= ortak katlarının en küçüğüne verilen isimdir. OKEK hesaplaması yapabilmek için birden fazla yol vardır.

OKEK ile EKOK Aynı mıdır?

Evet, OKEK ile EKOK aynı şeylerdir. Biri ortak katların en küçüğü anlamına gelir iken diğeri de en küçük ortak kat anlamına gelir. Sadece kelimelerin dizilişinin farklı olmasından kaynaklanan bir kısaltma çeşitliliği söz konusudur.

2 ya da daha fazla tam sayının ortak katlarının en küçüğüne OKEK denir. OKEK 2 yolla bulunabilir.

OKEK Nasıl Hesaplanır?

Ortak katların en küçüğünü bulmak için yaygın olarak 2 tane yol kullanılır.

Birinci yol için şu yöntem uygulanır:

  • Verilen sayılar, birlikte asal çarpanlarına ayrılır ve bu işlemin ardından bu sayıları bölen bütün asal çarpanlar birbirleri arasında çarpılır.

Bir örnek vermek gerekirse;

36 ve 48 sayılarının ortak katlarının en küçüğünü (OKEK) bulalım.

Şekilde gördüğünüz üzere 36 ve 48’nın asal çarpanları arasında bir miktar iki ve üç sayısı yer almaktadır. Asal çarpanların hepsini birbirleri ile çarparak 36 ile 48’in OKEK’ine ulaşabiliriz.

OKEK (36, 48) = 2 x 2 x 2 2 x 3 x 3 = 144

Ya da diğer bir mantık ile asal çarpanlar arasında dört tane 2, iki tane de 3 yer aldığı için işlem kalabalığı yapmamak adına 36 ile 48’in OKEK’ini bulurken 2 üzeri 4 ile 3 üzeri 2’yi çarpabilir ve yine aynı sonuca ulaşabiliriz.

  • İkinci yol için ise şu yöntem uygulanır:

En küçük ortak kat hesaplaması yaparken kullanacağımız diğer yöntemde ise sayıların asal çarpanlarına ayrılması gerekir ve bunun ardından ortak asal çarpan sayılar arasında üs değeri en büyük olan ile ortak olmayan asal çarpanın çarpılması gerekir.

Bir örnek verelim:

24 ve 60 sayılarının ortak katlarının en küçüğünü hesaplayalım.

24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 24 (Yani iki üzeri 3 ile üç sayısının çarpımından geliyor.)

60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 (Yani iki üzeri 2 ile üç ve beş sayılarının çarpımından geliyor.)

Bu durumda ortak asal çarpanlar arasından üs değeri en büyük olanı ve ortak olmayan asalları alacağımız için 2^3 ile beş ve üç sayılarını alıyoruz.

Bu durumda;

OKEK (24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 sonucuna ulaşıyoruz.

OBEB – OKEK Formülleri

Ortak katların en küçüğü ve ortak bölenlerin en büyüğünü bulmaya yönelik hesaplamalar yapılır iken aşağıda yer alan özellik ve formüllerden faydalanabilirsiniz.

OBEB (a, b) x OKEK (a, b)= a x b’ye eşittir.

A ile B sayıları aralarında asal durumda ise,

  • OKEK (a, b)= a x b
  • OBEB (a, b)= 1’dir.

Bu özellik genelde birçok soruda karşımıza çıkabilir ve eğerki OBEB OKEK hesaplama ile ilgili bir soruda karşımıza “aralarında asal” şeklinde bir tabir çıkarsa bu özellikten faydalanmak gerekebilir.

  • İkinci bir özelliğe geçmek gerekirse;

Ortada iki ya da daha çok sayı var ise bu sayıların OBEB’i en çok bu sayıların en küçüğüne eşit olabilir iken OKEK’leri ise en az bu sayıların en büyüğüne eşit olabilme ihtimaline sahiptir.

  • Üçüncü bir özellik;

OBEB (x, y)= k şeklinde bir varsayımda bulunursak;

X = k x m ve y = k x n şeklinde bir kanıya varabiliriz.
OKEK (x, y) = k ise p ile x’in çarpımı ve q ile x’in çarpımı k’ya eşit olacak şekilde aralarında asal en az bir q ve p ikilisi bulunmaktadır.

  • Dördüncü özellik ise şu şekildedir:

a, b ve c sabit, diğer yandan x, y ve z ise değişken pozitif tam sayılar olacak şekilde;

A = ax = by = cz ise

A sayısının en küçük değeri OKEK (A, B, C)’ye eşit olmaktadır.

  • Beşinci özelliğe göre, ortada bir uzunluk, ürün, şekil ya da herhangi bir nesne ile ilgili kendinden küçük parçalara ayrılması konusunda bir soru varsa bu durumda ortak bölenlerin en büyüğü yani OBEB ile işlem yapılmalıdır.
  • Altıncı özellik ise, küçük parçaların bir araya gelmesi ile daha büyük bir cismin oluşturulması temasına sahip sorularda ortak katların en küçüğü, yani okek, kullanılmasını tavsiye eder.

OKEK Bulma

Okek bulmaya çalışırken aşağıdaki sayıların katlarını belirten listeden faydalanabilirsiniz.

9’un Katları

9 sayısı üçe tam bölünebildiği için aynı zamanda bu sayılar üçün de katları olmaktadır. 9’un katlarını bulurken diğer taraftan bu sayının 3 üzeri 2 biçiminde ifade edildiğini unutmadan işlem yaparsanız daha sağlıklı olur.

9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180 189 198 207 biçiminde sonsuza kadar uzanır.

12’nin Katları

12 sayısı 2 x 2 x 3 işleminden meydana gelmektedir. Yani iki üzeri üç ile üçün çarpımı ile ortaya çıkar.

Bu sayının katları ise 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204, şeklinde sonsuza kadar gider.

15’in Katları

15 sayısı ise beş ile üçün çarpımından (5 x 3) oluşur ve katları 15-30-45-60-75-90-105-120-135-150 şeklinde sonsuza kadar uzanır.

18’in Katları

18’i incelediğimiz zaman ise bu sayının 2 x 3 x 3 işlemi neticesinde ortaya çıktığını, yani üç üzeri iki ile iki sayısının çarpımları sonucunda bulunduğunu görüyoruz.

18’in katları da 18,36,54,72,90,108,118,136,154 biçiminde sonsuza gider.

24’ün Katları

24’ü incelediğimizde bu sayının 2 x 2 x 2 x 3 işlemi neticesinde doğduğunu ve sekiz ile üçün çarpımı ya da diğer bir deyiş ile iki üzeri üç ile üçün çarpımı sonrasında ortaya çıktığını biliyoruz.

24’ün katları da 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 şeklinde sonsuza kadar uzanıyor.

EBOB Hesaplama

EBOB hesaplama işlemi yapılırken verilen sayılar beraber şekilde asal çarpanlarına ayrılmalıdır. Daha sonra bu sayıları aynı anda bölebilen bütün sayılar işaretlenir ve işaretlenen tüm sayıların çarpımıyla en büyük ortak bölene ulaşılır.

En büyük ortak bölen ya da diğer tabir ile ortak bölenlerin en büyüğünü bulurken şu noktalara dikkat edilmelidir:

Verilen sayılar, eğer ki aralarında asal olacak şekilde dizayn edildi ise ortak bölenlerin en büyüğü her zaman 1’e eşit olur ve OBEB (a, b) = 1 şeklinde belirtilir.

Ortada ikiden daha çok sayı var ise ve yine en az iki tanesi aralarında asal ise bu sayıların EBOB’u 1’e eşit olur.

Örneğin; x, y, z ve t sayılarının varlığını kabul edelim ve bu sayılardan t ile z’nin aralarında asal olduğunu düşünelim. Bu dört sayıların en büyük ortak böleni yine 1’e eşit olacaktır ve EBOB (x, y, z, t) = 1 şeklinde ifade edilecektir.

Ardışık iki sayının OBEB’i de her zaman 1’e eşit olur.

OBEB Okek Problemleri

Soru: Ortak katlarının en küçüğü 120 olan farklı iki doğal sayının toplamı en az kaçtır?

Çözüm: Soruda bizden aslında en küçük ortak katı 120 olan sayıyı istiyor. Yani bu durumda katı 120’ye eşit olan sayılara bakmamız lazım.

Bunlar; 120-60-40-30-24-20 şeklinde sıralanabilir. Bize ise toplamının en küçük olduğu durumu sormuş. Bu halde sayıların birbirine yakın olması gerekecektir.

120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 şeklinde çarpanlarına ayrılabilir.

İlk sayıyı 8, ikinci sayıyı 15 kabul ettiğimiz zaman istenen duruma ulaşıyoruz ve ikini topladığımızda cevabı 23 buluyoruz.

Soru: Ortak bölenlerinin en büyüğü 8 olan iki sayının toplamı en az kaç eder?

Çözüm: Ortak bölenlerinin en büyüğü 8 olan bir sayı, 8’in katları şeklinde ifade edilebilmektedir. O halde öncelikle 8’in katlarını yazalım.

8-16-24-32 şeklinde bu katlar sonsuza kadar gider.

En küçüğünü sorduğu için listede ilk iki sıradaki sayıyı almamız yeterli olacaktır.

Bu durumda 8+16=24 şeklinde sonuca ulaşırız.

Soru: A ile B birer tam sayı olmak üzere, a + b=72 olduğu durumda a ve b sayılarının ortak katlarının en küçüğü (OKEK) en fazla kaça eşit olur?

Çözüm: A + B=72 durumunda bir işlem neticesinde OKEK’in en büyüğünü bulmak için aralarında asal ve birbirine yakın olmasını gerektiğini göz önüne alara;

35 + 37 = 72 sonucundan

EKOK (35, 37)= 1295 sayısını elde ederiz.

Ortak Katların En Küçüğü (OKEK) Hesaplama!

POPÜLER HESAPLAMALAR

Sorry. No data so far.