Permütasyon Hesaplama

Bu yazımızda matematik derslerinde sıkça karşılaşılan ve bir seçim konusu olan permütasyon hakkında bilgi vermeye çalışacağız. Yazı içerisinde permütasyonun ne olduğundan, kısaca bilgisayar ile permütasyon hesaplamasından ve permütasyon hesaplamasının nasıl yapıldığından örneklerle bahsedeceğiz. Permütasyon Nedir? Permütasyon, matematik dersi bölümleri arasında yer alan bir konudur. Matematiğe göre permütasyon, bulunan her sembolün bir seferlik ya da birden […] Daha Fazla Bilgi

Bu yazımızda matematik derslerinde sıkça karşılaşılan ve bir seçim konusu olan permütasyon hakkında bilgi vermeye çalışacağız. Yazı içerisinde permütasyonun ne olduğundan, kısaca bilgisayar ile permütasyon hesaplamasından ve permütasyon hesaplamasının nasıl yapıldığından örneklerle bahsedeceğiz.

Permütasyon Nedir?

Permütasyon, matematik dersi bölümleri arasında yer alan bir konudur. Matematiğe göre permütasyon, bulunan her sembolün bir seferlik ya da birden fazla olarak kullanıldığı sıralı dizi anlamına gelmektedir. Permütasyonda, kümenin elaman sayısını n ile ve küme içinden seçilen eleman sayısı r ile gösterilmektedir. Bu semboller ile gösterimde bulunulan permütasyon hesaplamasında aşağıda yer alan formül kullanılmaktadır.

P(n,r) = {n \choose {n-r}} = \frac{n!}{(n - r)!}

n tane elemana sahip olan bir kümede 1’den 10’a kadar olan doğal sayılardan yola çıkalım. Küme içinden seçilen eleman sayısı yani r’yi 4 alacak olursak, bu bize elemanları {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} olan kümeden sırayı da dikkate alarak oluşturulacak 4 farklı elemanı bulan küme sayısını ifade edecektir. Bunun yanında r ve n birer pozitif doğal sayı olmak üzere ve r < n olacak şekilde, eleman sayısı n olan bir A kümesinin r elemanlı sıralı r’lileri A kümesinin r’li permütasyonları olarak ifade edilmektedir.

Bilgisayar İle Permütasyon Hesaplama

10 tane elemanı bulunan A kümesinden oluşturulacak 4 elemanlı sıralı kümelerin seçilme olasılıkları dikkate alınarak dörtlü dizilerin seçilme sayıları hesaplanabilmektedir.

  1.  10 tane elemanı bulunan A kümesinden 10 ayrı eleman seçilebilmektedir.
  2. 10 elemanlı bir kümede bir elemanın seçilmesi halinde seçilen eleman tekrar seçime dahil edilmeyeceğinden dolayı ikinci seçim için geriye kalan 9 elemandan tercihte bulunulur. İlk seçim için 10 eleman arasından ve ikinci seçim için ise 9 eleman arasından tercihte bulunulacağından ikinci eleman 10 x 9 = 90 farklı şekilde sıralanabilir.
  3. Aynı şekilde üçüncü seçim için 10 x 9 x 8 = 720 farklı şekilde sıralama yapılabilir.
  4. Dört elemanlı sıralı küme oluşturulacağı için son olarak dördüncü seçim için 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 farklı şekilde sıralama yapılabilir.

Yukarıda söz edilen durumu n ve r terimleri ile ifade edecek olursak,

  1. İlk eleman seçimi için n tane farklı seçenek bulunmaktadır.
  2. İkinci eleman seçiminde ise n x (n-1) tane farklı seçenek bulunmaktadır.
  3. Genel olarak r elemanlı bir seçim için n(n-1)(n-2)…(n-r+1) tane farklı seçenek bulunmaktadır. Bu şekilde yapılacak olan seçim sayısı yazının başında verilen formül ile aynı sonucu vermektedir.

C Programlama Dili

C kodunda permütasyon hesaplama şu şekilde yapılabilir;
long permütasyon (int n,int r) {
int i;
long sonuc=1;
for (i=0;i<r;i++)
sonuc=sonuc*(n-i);
return sonuc;
}

PHP Programlama Dili

PHP kodunda permütasyon hesaplama şu şekilde yapılabilir;
function permutasyon($n,$r){
$sonuc = 1;
for((($i = ($n-$r)+1)); $i<=$n; $i++){
$sonuc = $i*$sonuc;
}
return $sonuc;
}
permutasyon(7,2); // 42

Permütasyon Hesaplama Nasıl Yapılır?

Permütasyon hesaplaması verilen formül yardımı ile hesaplanabilmektedir. Bu formülden yararlanarak yapılan permütasyon hesaplamaları ile ilgili olarak aşağıda yer alan örnekleri inceleyelim.

Örnek 1: Ankara şehrinde otomobillere üç harf ve iki rakamdan oluşan plakalar verilmektedir. Araç plakalarında kullanılan harf sayısının 25 olduğu ve aynı harfin birden fazla kullanıldığı bilindiğine göre bu durumda kaç arabaya plaka verilebilir?

Çözüm: Otomobil plakalarında yer alan üç harf için 25 harf içerisinden ve iki rakam için 10 rakam içerisinden seçim yapılacağı için bu durumda;

25 x 25 x 25 x 10 x 10 = 1562500 arabaya plaka verilir.

Örnek 2: Lise öğrencisi olan Ahmet’in iki çift ayakkabısı, iki adet ceketi, dört adet pantolonu, üç adet gömleği ve üç adet kravatı vardır. Ahmet her gün farklı bir kıyafetini kullanarak okula gidecektir. Buna göre Ahmet kaç gün kıyafetle okula gidebilir?

Çözüm: Ahmet her farklı kıyafet sayısının çarpımı kadar günde değişik şekilde okula gidebilir.

2 x 2 x4 x 3 x 3 = 144 gün

Örnek 3: Bir otomobilde sürücü koltuğu da dahil olmak üzere toplamda 5 kişilik yer bulunmaktadır. Arabaya 5 kişi yerleşecektir ve 5 kişi içinden 2 kişinin sürücü belgesi olduğu bilinmektedir. Buna göre 5 kişi otomobile kaç farklı şekilde yerleşebilir?

Sürücü koltuğuna sürücü belgesi bulunan iki kişiden biri oturabilir. Sürücü koltuğuna birinin oturması halinde geriye kalan dört koltuk için dört kişi arasından seçim yapılacaktır. Buna göre beş kişi otomobile,

2 x 4 x 3 x 2 x 1 yani 2 x 4! = 48 farklı şekilde yerleşilebilir.

Örnek 4: SİVAS kelimesinde yer alan harflerle anlamlı ya da anlamsız olacak şekilde 6 harfli kaç farklı sözcük yazılabilir?

Çözüm : SİVAS kelimesinde iki S harfi bulunmaktadır. Bu nedenle,

6! / 2! =3 x 4 x 5 x 6 = 360 farklı sözcük yazılabilir.

n tane elemandan oluşan kümede n1 tane aynı elemandan ve n2 tane de başka aynı elemandan bulunması durumunda n elemanını permütasyon sayısı n! / n1 x n2 formülü ile bulunur.

Örnek 5: 5 kişilik arkadaş grubunun 2 tanesi kızdır. Bu arkadaş grubu bir banka oturacaklardır. Ancak iki kız arkadaş mutlaka yan yana oturmak istemektedir. Buna göre banka kaç farklı şekilde oturulabilir?

Çözüm : Arkadaş grubu içerisinde yer alan kızları A ve B olarak adlandıralım. A ve B’nin hiç ayrı oturmaması koşulunu sağlamak için A ve B’yi bir kişi olarak varsaymak gerekmektedir. Bu şekilde grup içerisinde 4 kişi varmış gibi düşünülür ve banka 4! kadar farklı şekilde oturabilirler. Ancak burada dikkat edilmesi gereken bir olasılık durumu da A ve B’nin kendi aralarında yer değiştirmesidir. A ve B kendi aralarında 2! kadar farklı şekilde oturabilir. Tüm bunlara göre banka 2! x 4! = 48 farklı şekilde oturulabilir.

Dairesel Permütasyon

Dairesel permütasyon, bir kümede bulunan elemanların bir daire etrafında kaç farklı şekilde sıralanabileceğini ifade etmektedir.

Dairesel permütasyonlarda bir elemanın bulunduğu yer önemli değildir. Elemanın sağında ve solunda yer alan diğer elemanlar önemlidir. n tane elemanın dairesel permütasyon sayısı (n-1)! ile bulunmaktadır.

Örnek 1: Yuvarlak bir masa etrafına oturacak olan beş kişi kaç farklı şekilde oturabilir?

Çözüm: Bir dairesel permütasyon sorusu olmasından dolayı beş kişi yuvarlak masa etrafına (5-1)! =4! =24 farklı şekilde oturabilirler.

Örnek 2: Üç erkek ve iki kızdan oluşan arkadaş grubu yuvarlak masa etrafına yerleştirilecektir. İki kız arkadaşın mutlaka yan yana oturması şartı ile kaç farklı yerleşim yapılabilir?

Çözüm: Arkadaş grubu içerisinde yer alan kızların A ve B olarak adlandırılması ve hiç ayrılmamaları koşulunu sağlanması için A ve B’yi tek eleman olarak varsaymak gerekmektedir. Bu durumda grupta artık 4 kişi bulunduğu düşünülebilir ve bu şekilde yuvarlak masa etrafına 3! kadar farklı şekilde yerleşebilirler. Ancak tek eleman olarak varsayılan A ve B’nin kendi içerisinde de yer değiştirme olasılığı göz önüne alınmalıdır. Sonuç olarak yuvarlak masa etrafına 2! x 3! = 12 farklı şekilde yerleşilebilir.

Permütasyonda Anahtarlık Problemleri

Anahtarlıklar havada döndürülebildiğinden dolayı anahtar problemlerinde permütasyon sayısının yarısını hesaplamak gerekmektedir. Ancak anahtarlıkta maskot bulunması halinde normal permütasyon hesaplaması yapılıp yarısı alınmaktadır.

n > 2 olmak üzere n tane anahtarın maskotsuz bir anahtarlığa (n-1)! /2  farklı şekilde, maskotlu bir anahtarlığa ise n! / 2 farklı şekilde takılması mümkün olmaktadır.

Örnek 1: Elinde 5 farklı anahtar bulunan bir kişi bu anahtarları maskotsuz bir anahtarlığa kaç farklı şekilde takabilir?

Çözüm: 5 farklı anahtar maskotsuz bir anahtarlığa, (n-1)/2 = (5-1)!/2 = 4!/2 = 12 farklı şekilde takılabilir.

Örnek 2: 6 farklı anahtara sahip olan bir kişinin elindeki anahtarları maskotlu bir anahtarlığa yerleştirmesi kaç farklı şekilde olabilir?

Çözüm: 6 farklı anahtar maskotlu bir anahtarlığa n!/2 = 6!/2 = 720/2 =360 farklı şekilde yerleştirilebilir.

Örnek 3: Farklı renk ve büyüklükte 5 boncuktan yapılacak kolyede boncuklar kaç farklı şekilde sıralanabilir? Hem klips takılması hem de klips takılmaması durumuna göre hesaplama yapınız.

Klips takılmaması durumunda;

(n-1)!/21 = 4!/2 =24/2 =12 farklı şekilde sıralanabilir.

Klips takılması durumunda ise;

n!/2 = 5!/2 =120/2 =60 farklı şekilde sıralanabilir.

Permütasyon hesaplama yapabilmek için permütasyon hesaplama aracımızdan da yararlanabilirsiniz. Hesaplama aracı ile permütasyon hesaplama yapabilmek için gerekli alanları doldurup hesaplama butonuna tıklamanız gerekmektedir.

Permütasyon Hesaplama!