Sayı Dizisi Örüntü Hesaplama | Sen iste o hesaplasın!

Sayı Dizisi Örüntü Hesaplama

Matematiksel düzen ve sistem içerisinde belirli bir kural içerisinde veya belli bir düzen içerisinde birbirini takip eden sayılara veya şekiller ile oluşturulan dizilere örüntü denir. Örneğin her sayının kendisinden bir önceki sayının 3 sayı fazla artması durumunda bir sayı örüntüsü oluşmaktadır. Örüntülerin sayılardan oluşan haline sayı dizisi denmektedir. Bu anlamda sayı örüntüsü aynı zamanda sayı dizisi anlamına gelmektedir. Sayı örüntüleri bilgisayar ve matematik bilimlerinde birden fazla problemin çözümü için ve algoritmaların oluşturulabilmesi için kullanılmaktadır.

Sayı Örüntüleri – Sayı Dizisi

Bir örüntü içerisinde sayıların yerini ve sırasını belirtmek için kullanılan işaret, notasyon ya da sembol “n” harfi ile gösterilmektedir. Bu nedenle n harfine örüntünün n. sayısı, genel sayısı ya da temsilci sayısı denir. Burada örüntü kuralı kavramı doğmaktadır. Buna göre örüntünün kuralı bir sayı örüntüsü içerisinde yer alan n. sıradaki sayının n değişkeni cinsinden ifadesidir. Örneğin 3, 6, 9, 12 şeklinde devam eden örüntünün kuralı 3.n olarak ifade edilmektedir. Bir örüntü kuralı için istenilen adımdaki sayıyı bulmak için adım numarası olarak ifade edilen yerine n harfi yazılarak sayı bulunur.  Bu anlamda yukarıdaki örnekte 20nci terimi bulmak için örüntü kuralına bakılır. Örüntü kuralındaki n yerine istenen terim sayısı yani 20 yazılarak bulunur. Böyle olunca n yerine 20 yazarak 3.n = 3.20 = 60 olarak bulunur. 4n + 5 sayı örüntüsü için 5. Terimi bulmak için ise n yerine 5 yazılır. Böyle olunca çözüm 4.5 + 5 = 20 + 5 = 25 şeklinde gerçekleşir.

Bir sayı örüntüsü içerisinde yer alan örüntü kuralını bulmak için örüntünün incelenmesi gerekmektedir. Sayı örüntüsü kuralının bulunması için sayılar arasındaki ilişkinin bulunması kuralın bulunmasını kolaylaştırılan bir faktördür. Her bir sayı adımı aynı sayı kadar artıyorsa ya da ay sayı kadar azalıyorsa bir örüntünün kuralını şu şekilde bulunur: 1. Terim: 8, 2. Terim: 11, 3. Terim: 14, n. Terim: 3n + 2 şeklindedir. Bu kural şu şekilde bulunmuştur: Örüntü incelendiğinde her bir adım 3’er şekilde artmaktadır. Bu nedenle n sayısı 3 ile çarpılır. Daha sonra örüntünün ilk terimi 8 olduğu için buradan hareket edilir ve n yerine 1 yazılınca 8 çıkması gerekir. O yüzden 3n ifadesine 5 eklenir. Buradan kural 3n + 5 şeklindedir. Hatırlatmakta fayda vardır ki bu yöntem sadece terimlerin ritmik bir şekilde artması durumunda kullanılır. Sayı dizileri her zaman ritmik bir şekilde artmayabilir.

Sayı dizilerinin bir diğer biçimi ise sayıların virgül ile ayrılması ile beraberinde dizilmesi şeklindedir. Bu anlamda dizide yer alan her bir sayı dizi terimini ifade etmektedir. Örnek olarak 2, 4, 6, 8, 10… Bu dizi çift sayılardan oluşur ve 2’den başlamak suretiyle ikişer şekilde artmakta olan bir sayısal dizidir. Örnek: 2, 8, 512… Bu dizi 2’den başlayarak üçer şekilde katlanarak ilerleyen bir sayısal dizidir.

Aritmetik Sayı Dizisi

Bir sayı dizisinin aritmetik dizi olarak adlandırılması için sayı dizisi içerisinde yer alan terimler ardışık olmalı ve bu ardışık terimleri arasındaki fark sabit sayı niteliği taşımalıdır. Örnek olarak yukarıda verilen 2. 4. 6, 8, 10 dizisi aritmetik bir dizidir. Çünkü bu dizideki ardışık terimler arasında sabit fark söz konusudur. Aritmetik bir sayı dizisinde yer alan ardışık nitelikli iki terim arasında ortaya çıkan fark sayı dizisinin ortak farkı olarak adlandırılmaktadır. Yukarıda yer alan sayı dizisindeki ortak fark 2’dir. Bir sayı dizinde yer alan ortak farkı bulmak için herhangi bir sayısal dizi teriminden, ondan önce yer alan sayısal dizi terimi çıkartılır ve ortak fark bulunur. Bir aritmetik dizide genel terim de bulunabilir. Bir aritmetik dizinin genel terimini bulmak için: Örneğin 5’ten başlayan ve ortak farkı 5 olan bir dizi oluşturalım. Bu dizinin terimlerinden ilk terimi 5, ikinci terimi 5+5=10, üçüncü terimi ise 5+5+5 şeklinde oluşur. Buradan hareketle anlaşılmaktadır ki her bir terim oluşturulurken aslında ilk sırada yer alan terimden hareket edilir. Bu dizinin ortak farkı eklenmek suretiyle devam edilir. Dizinin ortak farkı dizide yer alan terim sayısının bir eksiği kadar eklenmektedir. Buradan hareketle mesela onuncu terim bulunmak istenirse: 5 + 9 tane 5 yani 5 + 9.5 = 5 + 45 = 50 şeklindedir. Sonuç olarak aritmetik dizinin genel terim formülü: ilk terim a1 olarak adlandırılır ve ortak farka r denirse aritmetik dizinin genel terim formülü: [an = a1 + (n-1).r] şeklindedir.

Geometrik Sayı Dizisi

Bir sayı dizisinde yer alan ardışık terimlerden herhangi bir terim ile kendisinden önceki terim arasındaki oran sabit bir sayı ise bu sayısal diziye geometrik sayı dizisi denmektedir. En üstte verilen 2, 8, 512 örneği geometrik sayı dizisine örnektir. Çünkü örnekte ardışık iki terim arasındaki oran sabit nitelikli bir sayıdır. Geometrik bir sayı dizisinde yer alan iki terim arasındaki orana sayısal dizinin ortak çarpanı denmektedir. Bu örnekte ortak çarpan 3’tür. Ortak çarpanın bulunması için ardışık sayısal dizide yer alan herhangi bir yerim önceki terimine bölünür. Geometrik dizide yer alan bir diğer kavram ise genel terimdir. Geometrik dizinin genel teriminin bulunması için şu yol izlenmesi gerekir. Örneğin ilk terim 1 olsun ve bu dizinin ortak çarpanı 2 olsun. Yani ikiye katlanarak ilerleyen bir dizi oluşturalım. Bu dizinin ilk terimi 1 olur, ikinci terimi ise 1.2, üçüncü terimi ise 1.2.2 = 4, dördüncü terin ise 1.2.2.2 = 8 şeklinde olur. Buradan hareketle anlaşılmaktadır ki bir geometrik sayı dizisinde her bir terim oluşturulurken aslında ilk terimden yola çıkılır ve geometrik ortak çarpanı olan sayı ile çağrılarak devam edilir. Geometrik dizinin ortak çarpanını dizide yer alan terim sayısının bir eksiği kadar çarparız. Buradan hareketle onuncu terimi bulmamız gerekirse 1.9 tane 2’nin çarpımı= 1.29= 1.512 şeklindedir. Sonuç olarak geometrik dizinin genel terim formülü: ilk terim a1 olarak adlandırılır ve ortak çarpana r denirse geometrik dizinin genel terim formülü: [an= a1 . rn – 1]

Özel Sayı Örüntüleri

Üçgensel Sayılar

Üçgensel sayılar,  sayısal örüntü şeklinde 1’den başlayarak n’ye kadar devam eden n sayının toplamı şeklinde yazılması ile elde edilir. Bu şekildeki sayılar ile oluşturulmuş sayısal örüntüye ise üçgensel sayı dizisi denmektedir. Buna bir örnek verilmesi gerekirse: 1 üçgensel bir sayıdır. 3 de üçgensel bir sayıdır çünkü 3 = 1+2 şeklinde oluşur. 6 da üçgensel bir sayıdır çünkü 6 = 1+2+3 şeklindedir. Bu liste bu şekilde devam edebilir. Üçgensel sayıların bir örüntü şeklinde yazılması gerekirse: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 şeklinde devam eder.

Karesel Sayılar

Bir tam sayının karesi olarak yazılan sayılar karesel sayılar ya da tam kare sayılar olarak adlandırılmaktadır.  Karesel sayılar olarak ifade edilen sayıları bir araya getirerek oluşturulmuş bu örüntülere ise karesel sayı dizisi denmektedir. Bu tanımların örneklendirilmesi gerekirse 1 karesel bir sayıdır çünkü 1 sayısının karesi yine birdir. Yine aynı şekilde 4 de karesel bir sayıdır çünkü 4, 2 sayısının karesidir. 9 ve 16 da karesel sayılardır çünkü 9, 3 sayısının karesi, 16 ise 4’ün karesi şeklindedir. Bu şekilde oluşturulan karesel sayıların bir araya getirilmesi ile bir örüntü şeklinde yazılırsa karesel sayı dizisi oluşturulmuş olur. Örnek: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …

Fibonacci Sayı Dizisi

İtalyan matematikçi Lonardo Fibonacci’nin ortaya attığı Fibonacci sayıları ve Fibonacci sayı dizisi matematiksel bir sayı dizisidir. Fibonacci sayı dizisinde oluşturulan sayı dizisi kendine has bir özelliğe sahiptir. Bu sayı dizisinde ilk iki terim dışındaki diğer her bir terim kendisinden önce yer alan iki terimin toplanması ile oluşturulmuş bir sayı dizisidir. Örnek olarak: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… şeklindedir ve bu şekilde devam etmektedir. İtalyan matematikçi Fibonacci, bu sayı dizisini araştırdığı bir problemi çözmeye çalışırken bulmuştur.

Pascal Üçgeni

Blaise Pascal ünlü bir Fransız Matematikçidir. Ünlü matematikçi sayı üçgenlerinin üzerinde birçok çalışmaya imza atmıştır. Bu çalışmaları sonucunda piramit şeklinde bir sayı üçgeni bulmuştur. Bu sayı üçgeninde sayıların her biri aşağı doğru toplanarak genişletilmektedir. Bu sayı üçgenine Pascal Üçgeni denmektedir. Bu Pascal üçgeninde yer alan sayılar arasında ortaya çıkan örüntüler 1653 sayfa süren bir çalışmada yer almış ve anlatılmıştır. Pascal sayı üçgeni pek çok matematik alanında kullanılmaktadır. Bu alanların başında ise binom açılımı, olasılık ve kümeler gelmektedir. Birçok kaynakta bu sayı üçgenini İranlı matematikçi ve filozof Ömer Hayyam’ın incelediği ve araştırdığı belirtilmiştir.  Bu nedenledir ki Pascal sayı üçgeni, Ömer Hayyam sayı üçgeni adıyla da anılmaktadır.

Sayı Dizisi Örüntü Hesaplama!