Sayı Tabanı Hesaplama | Sen iste o hesaplasın!

Sayı Tabanı Hesaplama

Sayı tabanı, Matematik dersinde Yükseköğretime Geçiş Sınavı’ndan Kamu Personeli Seçme Sınavı’na kadar birçok alanda karşımıza çıkan bir konudur. Taban aritmetiği başlığının altında incelediğimiz sayı tabanı, bir sayının yazıldığı esnada kullandığımız sayma sisteminin hangi rakamlardan oluşacağını belirlememize yardımcı olur. Günümüzde kullandığımız normal matematik işlemlerinin tümünde onluk sayma sistemine göre işlemlerimizi yaparız. Alışverişte harcayacağımız toplam parayı ya da iki sınıfta toplam kaç öğrencinin olduğunu hesapladığımız zaman yaptığımız bütün işlemler onluk sayma sistemine dayanmaktadır. Sayı tabanı hesaplama onluk sistemle bir başka sistem arasında çeviri yapma sırasında oldukça basit bir mantığa dayanır.

Sayı Tabanı Hesaplama

Öteki sayı sistemlerinde taban aritmetiğinin nasıl işlediğini bir inceleyelim:

Onluk sayı sisteminde kullandığımız rakamlar: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Dokuzluk sayı sisteminde kullandığımız rakamlar: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Yedilik sayı sisteminde kullandığımız rakamlar: 0,1,2,3,4,5,6

Dörtlük sayı sisteminde kullandığımız rakamlar: 0,1,2,3

Sayı tabanı hesaplama konusunda en önemli noktalardan bir tanesi de t tabanında yazılan abc sayısının bütün sayı sistemlerinde t>1 şeklinde olduğu, bir başka deyişle tabanın her daim 1’den daha büyük olması gerektiğidir. t tabanında yazdığımız abc sayısındaki rakamların tümü de her zaman t’den küçük olması gereken rakamlardır.

Daha kolay ve anlaşılır bir ifadeyle yedilik sayı sistemini oluşturan bütün rakamlar yediden küçük rakamlardır. Yedilik sayma sisteminde yazdığımız sayıların içerisinde 7, 8 ya da 9 gibi rakamların karşımıza çıkmaması gerekmektedir.

Sayı Tabanı Soruları

Soru: Beş tabanında üç basamağa sahip olan ve rakamları birbirinden farklı olmak üzere yazabileceğimin değeri en büyük sayı nedir?

Çözüm: Beşlik sayma sisteminde bir sayı yazmamız gerektiği için yazacağımız bütün rakamların 5’ten küçük olması gerekmektedir.

Beşlik sayma sistemi şu rakamlardan oluşur: 0,1,2,3,4

Üç haneli, rakamları farklı en büyük sayıyı yazacağımız için yüzler basamağına beşlik sistemdeki en büyük sayıyı, yani 4’ü, yazmak durumundayız. Onlar basamağına 4’ten farklı en büyük ikinci sayı olan 3’ü, birler basamağına da sistemin üçüncü en büyük rakamı olan 2’yi yazıyoruz.

Bu durumda cevap 432 oluyor.

Soru: 9 tabanında yazabileceğimiz rakamları birbirinden farklı olan en küçük sayı nedir?

Çözüm: Dokuzluk sayma sisteminde yer alan rakamlar şunlardır:

0,1,2,3,4,5,6,7,8

Dört basamaklı, rakamları birbirinden farklı en küçük sayı sorulduğu için binler basamağına sayma sisteminin en küçük sayısını yazıyoruz.

Bu konuda yapılan en sık hatalardan biri binler basamağına “0” rakamının yazılmasıdır. Fakat “0” binler basamağına yazıldığında o sayı dört haneli değil, üç haneli olur. Bu yüzden bu durumda binler basamağına 0’dan sonra en küçük ikinci rakam olan 1’i yazmak durumundayız. 1’i binler basamağına yazdıktan sonra şimdi 0’ı yüzler basamağına yazmak mümkün olmuştur. Onlar basamağına sistemin üçüncü en küçük sayısı olan 2’yi, birler basamağına da sistemin dördüncü en küçük sayısı olan 3’ü yazıyoruz.

Bu durumda sayımız: 1023 olur.

İkili Sayı Sistemi

İki tabanında yazılan sayılar için sadece 0 ve 1 rakamlarını kullanmak mümkündür. İkili sayma sistemindeki bütün sayılar 0 ve 1’den oluşur.

Sayı Sistemleri Çevirme Örnekleri

Herhangi bir tabanda yazılan bir sayıyı onluk tabana çevirmek nasıl yapılır? Bu hesabı doğru yapabilmek için onluk sisteme çevirecek olduğumuz sayı sisteminin tabanındaki t sayısı göz önünde bulundurulur. Diyelim ki dört haneli bir sayıdan söz ediyoruz. Bu durumda tabandaki t sayısı önce birler basamağındaki, sonra onlar basamağında, sonra yüzler ve en son binler basamağındaki rakam ile “üs”ler dikkate alınarak çarpılır. Anlatımda kafa karıştırıcı gibi görünse de örneklerle sistemi çözmek daha kolay olacaktır.

İlk olarak onluk sistemdeki bir sayıyı tekrar onluk sisteme çevirerek sistemin nasıl işlediğini öğrenmenize daha basit bir şekilde yardımcı olalım:

4231 sayısını ele alacak olursak, bu sayının onluk sistemde olduğunu bildiğimize göre yeniden onluk sisteme çevirirken yapacağımız işlemler şu şekildedir:

Birler basamağındaki 1 rakamı, taban değerimiz olan 10’un sıfırıncı üssüyle çarpılmalıdır. (1) x 1

Onlar basamağındaki 3 rakamı, taban değeri olan 10’un birinci üssüyle çarpılmalıdır. (10) x 3

Yüzler basamağındaki 2 rakamı, taban değeri olan 10’un ikinci üssüyle çarpılmalıdır. (100) x 2

Binler basamağındaki 4 rakamı da 10’un üçüncü üssüyle çarpılmalıdır .(1000) x 4

Bu durumda sondan başa doğru toplayacak olursak 4000 + 2000 + 30 + 1 işlemi neticesinde 4231 sonucunu elde ediyoruz. Onluk sistemde çevirme-sağlama işleminden işin mantığını anladığımıza göre başka tabanlarda örnekler yaparak olayı iyice pekiştirelim.

Bu sefer de beş tabanında yazılmış olan 4321 sayısını ele alalım ve bunu onluk tabanda yazmak için çevirme işlemi uygulayalım.

Tabanımızın 5 olduğunu göz önüne alırsak;

Birler basamağında bulunan 1 rakamını 5’in sıfırıncı üssüyle çarpıyoruz. (1) x 1

Onlar basamağında yer alan 2 rakamını 5’in birinci üssüyle çarpıyoruz. (5) x 2

Yüzler basamağında olan 3 rakamını 5’in ikinci üssüyle (karesiyle) çarpıyoruz. (25) x 3

Binler basamağında bulunan 4 rakamını 5’in üçüncü üssüyle (küpüyle) çarpıyoruz. (125) x 4

Binler basamağından başlayıp toplamak gerekirse; 500 + 75 + 10 + 1 işlemi neticesinde 586’yı bulmuş oluyoruz. Yani beş tabanında yazılan 4321 sayısının on tabanındaki değeri 586’ya eşit oluyor.

Bir de onluk sistemdeki bir sayıyı başka tabana çevirmeye göz atalım.

Onluk tabanda yer alan bir sayı, başka tabandaki bir sayıya çevrilecekse söz konusu sayı, çevrilecek olan tabanın sayısal değerine sürekli şekilde bölünür. Daha sonra finaldeki bölüm sonucundan başlayarak kalanlar alınır ve cevap bulunmuş olur.

Hemen onluk tabanda yazılan 345 sayısını altılık tabana çevirerek bir örnekle anlamaya çalışalım.

Yukarıdaki görselden de anladığınız üzere onluk tabanda yazılan 345 sayısı, çevirmek istediğimiz taban olan 6 rakamına sürekli bir şekilde bölünüyor. Artık sayı daha fazla 6’ya bölünemez hale geldiği zaman ise bölümde yer alan sayıdan başlayarak sola doğru kalanları yazıyoruz.

Yani binler basamağında bölümdeki 1 rakamı, yüzler basamağında en sağdaki kalanda yer alan 3 rakamı, onlar basamağında sağdan üçüncü sırada bulunan diğer 3 rakamı ve birler basamağında en soldaki kalanda yer alan diğer 3 rakamı yazılıyor.

Bu durumda altılık tabanda bu sayının değeri 1333 oluyor.

Onaltılık Sayı Sistemi

16’lık sayı sistemi heksadesimal sayı sistemi olarak da bilinmektedir. Onaltılık sayı sisteminin tabanı 16 olup bu sistemde yer alan sayılar 0’dan 16 dahil olmamak üzere 16’ya kadar olan sayılardır. Ama 9’dan sonraki sayılar, yani sistemdeki çift haneli sayılar harfler ile ifade edilir. A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.

16’lık Sayı Sistemi Çevirme

16lık sayı sistemi çevirme işlemi günümüzde makine kodlarının yazımında ve bilgisayarda kullanılır. 16’lık sayı sistemini 2’liğe ve 8’lik sayı sistemine çevirme bu konudaki en popüler çevirme işlemleridir.

Sayı Tabanı Hesaplama!