Standart Sapma Hesaplama

Bu yazımızda matematiksel ve istatistiksel hesaplamalarda sıkça karşılaşılan ve hem farklı bilimlerde hem de günlük hayatta farklı kullanım alanları bulunan standart sapma konusundan bahsedeceğiz. Konu içerisinde standart sapmanın ne olduğu, standart sapma formülü, standart sapmanın özellikleri, standart sapmanın kullanım alanları ve standart sapma hesaplama başlıklarına yer vereceğiz. Standart Sapma Nedir? Olasılık kuramı ile istatistik bilim dalının […] Daha Fazla Bilgi

Bu yazımızda matematiksel ve istatistiksel hesaplamalarda sıkça karşılaşılan ve hem farklı bilimlerde hem de günlük hayatta farklı kullanım alanları bulunan standart sapma konusundan bahsedeceğiz. Konu içerisinde standart sapmanın ne olduğu, standart sapma formülü, standart sapmanın özellikleri, standart sapmanın kullanım alanları ve standart sapma hesaplama başlıklarına yer vereceğiz.

Standart Sapma Nedir?

Olasılık kuramı ile istatistik bilim dalının kapsamında yer alan anakütle, örneklem, olasılık dağılımı ve rassal değişken olarak ifade edilen verisel değerlerin yayılımları özetlenirken kullanılan ölçüye standart sapma denilmektedir. Matematiksel olarak anakütle, olasılık dağılımı ve rassal değişken verilerinde kullanılan standart sapmanın gösterimi eski bir Yunan harfi olan sigma ile yapılır. Sigma, σ işareti ile ifade edilir. Bunun yanında örneklem için yapılan standart sapma hesaplamalarında standart sapma s ya da s’ şeklinde ifade edilir. Bahsedilen veriler ile hesaplaması yapılan standart sapma varyansın kare kökü değerine eşit olmaktadır. Başka bir ifade ile standart sapma şu şekilde ifade edilmektedir; standart sapma, veri değerlerinin aritmetik ortalamadan farkları karelerinin toplam değerinin veri sayısı -1 ile bölünmesi sonucunda elde edilenin kare kökü olmaktadır. Kısaca standart sapma veri değerlerinin ortalamadan sapmalarının kareler ortalamasının kareköküdür.

Yayılma ölçüsü olarak kullanılan standart sapma için ölçüm birimine bakılmalıdır. Varyans olarak tanımlanan bir diğer yayılma ölçüsünün tanımı, verilerin ortalamadan farklarının karelerinin ortalaması şeklinde yapılmaktadır. Varyans ölçüsünün hesaplanabilmesi için veri birimlerinin karesi alınmalıdır. Bu şekilde yapılan hesaplamalar farklı sonuçlara ulaştırabilir. Hesaplama ile elde edilen sonucun farklı olmasından standart sapma için varyansın kare kökü alınarak kaçınılabilir. Böylece standart sapma birim veri birimi olur. Ayrıca verinin yayılımı ölçümü veri birimleri ile yapılır.

Standart sapma, verilerin alınan ortalamaya göre yayılımını belirten ve niceliksel ölçekli sayılarda kullanımı çok sık olan istatistiksel ölçü olarak da ifade edilebilir. Ölçümlemeye dahil olan verilerin ortalamaya yakın olması standart sapma değerinin küçük olmasını ve ölçümlemeye dahil olan verilerin ortalamaya uzak olması standart sapma değerinin büyük olmasını meydana getirir. Ancak ölçümlemeye dahil olan verilerin tümünün tamamen aynı değerde olaması standart sapmanın sıfır olduğu anlamına gelmektedir.

Ayrıca standart sapma büyük olduğunda veri grubunda yer alan değerler birbirleri ile yakın ve standart sapma küçük olduğunda ise veri grubunda yer alan değerler birbirleri ile uzak demektir. Bunun yanında standart sapmanın küçük ve büyük olması ile ilgili olarak şu şekilde bir durum da vardır; standart sapma küçük ise ortalamadan sapma ve risk azdır. Bu durumun tam tersine standart sapma büyük ise ortalamadan sapma ve risk çoktur.

Standart Sapma Formülü

Standart sapmada; rassal değişken için standart sapma, bir sürekli rassal değişken için standart sapma ve anakütle standart sapma değerinin örneklem standart sapma kullanılarak kestirimi için farklı eşitlikler yer almaktadır.

Genel itibari ile standart sapmada kullanılan formül şu şekildedir;

standart sapma formülü

Verilerin aritmetik ortalamasının bulunmasının ardından her veri ile artimetik ortalama farkının karesi alınır. Ortaya çıkan sonuçların toplamı veri sayısının bir eksiğine bölünür ve son olarak bölümden elde edilen sayının karekökü alınarak standart sapma hesaplaması yapılır.

Standart Sapma Aritmetik Ortalama İlişkisi

Genel olarak standart sapma ile aritmetik ortalama konuları beraber ele alınmaktadır. Ortalama verilerinin merkezi olarak kullanılan ölçü olması durumu söz konusu ise standart sapma veri yayılımının doğal ölçüsü olmaktadır. Bu durum ortalama noktasından standart sapmanın verinin bir noktası üzerinden standardize edilen sapmadan küçük olmasından kaynaklanmaktadır. İfade edilen durum aşağıdaki belirtildiği gibi formülize edilmektedir.

σ (r) = 1/N [Σ(xi – r)²]

formülde toplam ifadesinde alt sınır i ve üst sınır N olmaktadır. Ayrıca x1, x2,…., xn reel sayılardır.

Birinci türevin sıfıra eşitlenmesi ile ya da birinci türevin sıfıra eşitlenmesinden daha kolay bir yöntem olarak kare tamamlaması ile σ (r) ‘ın yalnızca bir minimum noktasının aritmetik ortalama olduğu ifade edilebilmektedir.

r = ortalama x

Vasyasyon katsayısı standart sapma ile aritmetik ortalama arasındaki bir başka ilişkidir. Burada belirtilen varyasyon katsayısı yayılım özelliğine dayanan veri karşılaştırmaları için kullanılmaktadır. Bir veri serisinde standart sapma ile aritmetik ortalama arasındaki oran varyasyon katsayısını vermektedir.

Standart sapma ve aritmetik ortalamada veri birimleri söz konusudur. Ancak varyasyon katsayısı için böyle bir durum yoktur. Vasyasyon katsayısı sadece sayıdan ibarettir. Dolayısı ile varyasyon katsayısı farklı birimlerde veri yayılımlarının karşılaştırılmasında kullanılabilmektedir.

Standart Sapma Özellikleri

  • Sayı dizinde bulunan verilerin aritmetik ortalamaya yakın olması durumunda standart sapma değeri düşük olur.
  • Yaygın dağılım aritmetik ortalamaya uzak ise standart sapma değeri büyük olur.
  • Sayı dizinde bulunan tüm verilerin aynı olması durumunda standart sapma değeri 0 olur.
  • Normal dağılım, standart sapma ile ilişkilidir.
  • Standart sapma genellikle aritmetik ortalama ile kullanılır.
  • Standart sapma hesaplamasında aritmetik ortalama merkezi değerin ölçmümü, standart sapma dağılım ölçüsü anlamına gelmektedir.
  • Standart sapma değerinin büyük olması testin ayırt edici özelliğinin yüksek olması ve grubun heterojen olması anlamına gelmektedir. Bu durumda değerler arasındaki fark yüksek olmaktadır.
  • Standart sapma değerinin küçük olması testin ayırt edici özelliğinin düşük olması ve grubun homojen olması anlamına gelmektedir. Bu durumda değerler arasındaki fark düşük olacaktır.
  • Standart sapma ile aritmetik ortalama arasının büyümesi heterojen yapının varlığını belirtir. Tahmin başarısı düşük olmaktadır.
  • Standart sapma ile aritmetik ortalama arasının küçülmesi homojen yapının varlığını belirtir. Tahmin başarısı yüksek olmaktadır.
  • Yapılan testte puanların standart sapması ne kadar büyürse testin güvenliği de o kadar artmaktadır.

Standart Sapmanın Kullanım Alanları

Fizik Bilimlerinde;

Yapılan deneylerde elde edilen standart sapma sonuçları deneyin kesinliği ve doğruluğunu belirtir.

Teoriye dayalı ölçümlemelerde tahmin ile standart sapma karşılaştırılır. Yapılan karşılaştırma sonucunda ölçümlemenin standart sapması tahminden uzak olması teorinin değiştirilmesi gerektiği anlamına çıkar.

Finansmanda;

Hisse senedi, tahvil gibi menkul kıymetler ve menkul kıymetler portföyü riskini belirtir.

Yatırım ya da menkul kıymetler portföyü riski artıkça beklenen getiri de artmaktadır.

Bunun yanında,

  • Sınavlarda yöneltilen sorularda
  • Başarılı ve başarısız sınıfların belirlenmesinde
  • Başarı durumları arasındaki farklılıkta
  • Grubun ya da dağılımın homojen yapıda olup olmamasında
  • Grubun ortalamaya olan uzaklığında standart sapma kullanılmaktadır.

Standart Sapma Hesaplaması Nasıl Yapılır?

Standart sapma hesaplamasını beş adımda ele alabiliriz. Yazı içerisinde de bahsettiğimiz adımlar şu şekildedir.

  1. Adım : Standart sapması bulunacak olan verilerin aritmetik ortalaması hesaplanır.
  2. Adım : Elde bulunan her bir veriden aritmetik ortalama çıkarılır.
  3. Adım : Bulunan farkların kareleri alınır ve karesi alma sonucu çıkan sayılar toplanır.
  4. Adım : Toplamda elde edilen sayı veri sayısının bir eksiğine bölünür.
  5. Adım : Son olarak bölümün karekökü alınır.

İşlem yapmak yerine hesaplama aracımızdan da kolayca ve doğru şekilde standart sapma hesaplaması yapabilirsiniz. Bunun için standart sapması bulunacak olan sayı dizisini belirtilen alana yazın ve hesapla butonuna tıklayın.

Standart Sapma İle İlgili Örnek

Örnek : 10, 20, 30 ve 40 sayılarından oluşan bir sayı dizisinin standart sapmasını hesaplayalım.

Çözüm : Standart sapmayı hesaplayabilmek için ilk olarak verilerin aritmetik ortalamasını bulmak gerekir.

(10+20+30+40)/4 = 25

Daha sonrasında verilerden aritmetik ortalamalar çıkarılır ve çıkan sonuçlar toplanır.

(10-25)² = 225

(20-25)² = 25

(30-25)² = 25

(40-25)² = 225

225+25+25+225 = 500

Toplam veri sayısının bir eksiğine (4-1 = 3) bölünür.

500 / 3 = 166,66

Standart sapma hesaplama için son olarak bölümden çıkan sonucun karekökü alınır.

√166,66 = 12,09 olarak standart sapma bulunmuş olur.

Standart Sapma Hesaplama!